Función homográfica

Una función homográfica (también llamada función racional lineal) es una función que tiene una función lineal tanto en el numerador como en el denominador:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

La función homográfica más sencilla de todas es $y=\frac{k}{x}$. Quizá la conozcas de primaria como la proporcionalidad inversa de la regla de tres. De Madrid a Alcalá de Henares hay unos 30 kilómetros. Si vas a 30 km/h, llegarás en una hora; a 60 km/h, en media hora, y en bici a 15 km/h tardarás dos horas. El doble de velocidad, la mitad de tiempo. El tiempo de viaje en horas es, por tanto,

$$t=\frac{30}{v},$$

donde v es la velocidad en kilómetros por hora. Y esa es precisamente la función $y=\frac{k}{x}$ con k = 30.

La gráfica de una función homográfica es una hipérbola, y además equilátera, es decir, con asíntotas perpendiculares entre sí. A diferencia de las figuras de ese artículo, aquí está girada de modo que no se acerca a dos rectas oblicuas que se cruzan, sino a una horizontal y una vertical. Así se ve, por ejemplo, la gráfica de la función $y=\frac{x-1}{x-2}$; las asíntotas son las rectas azules discontinuas x = 2 e y = 1:

A la expresión se le imponen además dos condiciones, c ≠ 0 y ad − bc ≠ 0. Si fuera c = 0, en el denominador no habría ninguna x y obtendríamos una simple función lineal. Si ad − bc = 0, en cambio, el numerador es un múltiplo del denominador, la fracción se simplifica y queda una función constante.

La función k partido por x

Empezamos con la función $y=\frac{k}{x}$. En lugar de x no podemos sustituir el cero, porque no se puede dividir entre cero, y por eso el dominio es Dom f = ℝ ∖ {0}. Pero tampoco obtenemos nunca el cero como resultado: una fracción con numerador distinto de cero no puede valer cero. Por eso el recorrido también es Rg f = ℝ ∖ {0}.

Probemos a sustituir unos cuantos números en la función $y=\frac{2}{x}$. Para x = 1 sale y = 2, para x = 2 obtenemos y = 1 y para x = 4 solo $y=\frac{1}{2}$. Cuanto mayor es x, más se pega la gráfica al eje x sin llegar a tocarlo nunca. Y al revés, cuanto más cerca está x del cero, mayor es el valor de y: para $x=\frac{1}{10}$ sale y = 20. La gráfica sale disparada hacia arriba a lo largo del eje y. Con x negativas ocurre lo mismo, pero con el signo contrario.

La curva roja de la figura corresponde a la función $y=\frac{2}{x}$ y la azul a la función $y=-\frac{2}{x}$. Los puntos naranjas corresponden a los valores que acabamos de calcular. La posición de las ramas depende del signo del número k:

• si k>0, las ramas de la hipérbola están en los cuadrantes primero y tercero,
• si k<0, están en los cuadrantes segundo y cuarto.

A los ejes x e y, a los que se acerca la gráfica, los llamamos asíntotas.

Ahora, ojo con la trampa en la que cae casi todo el mundo. La función $y=\frac{2}{x}$ es decreciente, ¿verdad? Cada rama roja, por separado, de verdad decrece. Pero probemos con x₁ = −1 y x₂ = 1. Se cumple x₁<x₂ y, sin embargo, f(−1) = −2 es menor que f(1) = 2. La función no es decreciente en todo Dom f: es decreciente por separado en el intervalo (−∞, 0) y por separado en el intervalo (0, +∞). Quien escriba que es decreciente en ℝ ∖ {0} comete un error.

Gráfica desplazada y paso de la forma general

La gráfica de la función $y=\frac{k}{x}$ se puede desplazar igual que la parábola en la función cuadrática. La función

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

tiene la misma gráfica que $y=\frac{k}{x}$, solo que desplazada m unidades hacia la derecha y n hacia arriba. Ojo con el signo: en el denominador está x − m, así que $\frac{k}{x-3}$ se desplaza tres unidades a la derecha, no a la izquierda. Con la gráfica se desplazan también las asíntotas, que ya no son los ejes, sino las rectas x = m e y = n. La asíntota vertical está donde el denominador vale cero. Cuando x se acerca al número m, el denominador es diminuto y la fracción enorme, así que la gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo. La asíntota horizontal está a la altura a la que se acercan los valores de la función cuando x está muy lejos del cero, tanto en el lado positivo como en el negativo. La fracción $\frac{k}{x-m}$ es entonces casi nula y solo queda n.

La expresión general $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, sin embargo, normalmente no viene en esta forma. Veamos cómo pasar a ella con la función

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

En el denominador está x − 1, así que intentaremos fabricar la misma expresión también en el numerador. El doble de x − 1 es 2x − 2, y para obtener a partir de eso el numerador 2x + 1 tenemos que sumar todavía tres:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Lo sustituimos en la fracción:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Separamos la fracción en una suma de dos:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

En la primera fracción simplificamos x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Llegas al mismo resultado con la división de polinomios: (2x + 1):(x − 1) da 2 con resto 3. Del resultado ya se leen fácilmente m = 1, n = 2 y k = 3. Las asíntotas son las rectas x = 1 e y = 2. Como k es positivo, las ramas quedan respecto de las asíntotas arriba a la derecha y abajo a la izquierda, igual que en $y=\frac{2}{x}$.

El dominio se reconoce por el denominador, que no puede ser cero, es decir, x ≠ 1. El valor 2, en cambio, la función nunca lo toma, porque la fracción $\frac{3}{x-1}$ no puede valer cero:

$$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{1\},\mathrm{Rg}f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Faltan los puntos de corte con los ejes. En el punto de corte con el eje x es y = 0, y una fracción vale cero únicamente cuando vale cero el numerador:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

El punto de corte con el eje y lo encontramos sustituyendo x por cero:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

La gráfica corta el eje x en el punto $(-\frac{1}{2},0)$ y el eje y en el punto (0, −1). Los dos puntos de corte están en la figura en naranja y las asíntotas en gris discontinuo:

Fíjate en que el punto de corte con el eje y también sale de la forma simplificada: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Cuadra.