Lineær brøkfunktion

En lineær brøkfunktion er en funktion, som har en lineær funktion både i tælleren og i nævneren:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Den allerenkleste lineære brøkfunktion er $y=\frac{k}{x}$. Måske kender du den fra folkeskolen som omvendt proportionalitet fra enhedsmetoden. Fra Roskilde til København er der cirka 30 kilometer. Hvis du kører 30 km/t, er du der om en time, ved 60 km/t om en halv time, og på cykel med 15 km/t når du frem på to timer. Dobbelt så høj fart, halv så lang tid. Køretiden i timer er altså

$$t=\frac{30}{v},$$

hvor v er farten i kilometer i timen. Og det er netop funktionen $y=\frac{k}{x}$ med k = 30.

Grafen for en lineær brøkfunktion er en hyperbel, og det er en ligesidet hyperbel, altså med asymptoter, der står vinkelret på hinanden. I forhold til figurerne i den artikel er den desuden drejet sådan, at den ikke nærmer sig to skrå linjer, der krydser hinanden, men en vandret og en lodret. Sådan ser for eksempel grafen for funktionen $y=\frac{x-1}{x-2}$ ud, asymptoterne er de blå stiplede linjer x = 2 og y = 1:

Til forskriften hører yderligere to betingelser, c ≠ 0 og ad − bc ≠ 0. Hvis c = 0, ville der ikke være noget x i nævneren, og vi ville få en almindelig lineær funktion. Ved ad − bc = 0 er tælleren til gengæld et multiplum af nævneren, brøken forkortes, og tilbage bliver en konstant funktion.

Funktionen k over x

Vi begynder med funktionen $y=\frac{k}{x}$. Vi må ikke indsætte nul for x, fordi man ikke kan dividere med nul, og definitionsmængden er derfor Dm(f) = ℝ ∖ {0}. Nul får vi dog heller aldrig som resultat, en brøk med en tæller forskellig fra nul kan ikke være nul. Derfor er værdimængden også Vm(f) = ℝ ∖ {0}.

Vi prøver at indsætte nogle tal i funktionen $y=\frac{2}{x}$. For x = 1 får vi y = 2, for x = 2 får vi y = 1, og for x = 4 kun $y=\frac{1}{2}$. Jo større x, desto tættere smyger grafen sig op ad x-aksen, uden at den nogensinde rører den. Omvendt, jo tættere x er på nul, desto større y får vi: for $x=\frac{1}{10}$ bliver y = 20. Grafen skyder altså opad langs y-aksen. For negative x er det det samme, bare med modsat fortegn.

Den røde kurve på figuren hører til funktionen $y=\frac{2}{x}$, den blå til funktionen $y=-\frac{2}{x}$. De orange punkter svarer til de værdier, som vi lige har regnet ud. Fortegnet på tallet k afgør, hvor grenene ligger:

• for k>0 ligger hyperblens grene i 1. og 3. kvadrant,
• for k<0 ligger de i 2. og 4. kvadrant.

De x- og y-akser, som grafen nærmer sig, kalder vi asymptoter.

Nu skal du dog passe på en fælde, som næsten alle falder i. Funktionen $y=\frac{2}{x}$ er jo strengt aftagende, ikke? Hver rød gren for sig aftager faktisk. Men lad os prøve x₁ = −1 og x₂ = 1. Der gælder x₁<x₂, og alligevel er f(−1) = −2 mindre end f(1) = 2. Funktionen er altså ikke strengt aftagende på hele Dm(f), den er strengt aftagende for sig på intervallet ]−∞; 0[ og for sig på intervallet ]0; ∞[. Den, der skriver, at den er strengt aftagende på ℝ ∖ {0}, har lavet en fejl.

Forskudt graf og omskrivning af den almene form

Grafen for funktionen $y=\frac{k}{x}$ kan vi forskyde på samme måde som parablen ved et andengradspolynomium. Funktionen

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

har samme graf som $y=\frac{k}{x}$, bare forskudt m til højre og n opad. Pas på fortegnet: i nævneren står x − m, så $\frac{k}{x-3}$ forskydes tre til højre, ikke til venstre. Med grafen forskydes også asymptoterne, så det ikke længere er akserne, men linjerne x = m og y = n. Den lodrette asymptote ligger der, hvor der står nul i nævneren. Når x nærmer sig tallet m, er nævneren meget lille og brøken enorm, så grafen styrter opad eller nedad. Den vandrette asymptote ligger der, hvor funktionsværdierne nærmer sig, når x er meget langt fra nul, både på den positive og den negative side. Brøken $\frac{k}{x-m}$ er så næsten nul, og tilbage bliver kun n.

Den almene forskrift $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ har vi dog som regel ikke på denne form. Vi viser omskrivningen på funktionen

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

I nævneren står x − 1, og derfor prøver vi at lave det samme udtryk i tælleren. To gange x − 1 er 2x − 2, og for at få tælleren 2x + 1 ud af det skal vi lægge yderligere tre til:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Det indsætter vi i brøken:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Brøken deler vi op i en sum af to:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

I den første brøk forkorter vi x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Til det samme resultat kommer du også ved at bruge polynomiers division: (2x + 1):(x − 1) giver 2 med rest 3. Ud fra resultatet kan vi nemt aflæse m = 1, n = 2 og k = 3. Asymptoterne er linjerne x = 1 og y = 2. Da k er positiv, ligger grenene i forhold til asymptoterne øverst til højre og nederst til venstre, ligesom ved $y=\frac{2}{x}$.

Definitionsmængden kan vi se ud fra nævneren, som ikke må være nul, altså x ≠ 1. Værdien 2 antager funktionen til gengæld aldrig, fordi brøken $\frac{3}{x-1}$ ikke kan være nul:

$$\mathrm{Dm}(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},\mathrm{Vm}(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Tilbage er skæringspunkterne med akserne. I skæringspunktet med x-aksen er y = 0, og en brøk er kun nul, hvis tælleren er nul:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Skæringspunktet med y-aksen finder vi ved at indsætte nul for x:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Grafen skærer x-aksen i punktet $(-\frac{1}{2},0)$ og y-aksen i punktet (0, −1). Begge skæringspunkter er orange på figuren, asymptoterne grå og stiplede:

Læg mærke til, at skæringspunktet med y-aksen også kom ud af den omskrevne form: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Det passer.