Fonction homographique

Une fonction homographique est une fonction dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux des fonctions affines :

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

La plus simple d’entre elles est $y=\frac{k}{x}$. Tu la connais peut-être du collège : ce sont des grandeurs inversement proportionnelles, comme avec la règle de trois. Deux villes voisines sont distantes d’environ 30 kilomètres. Si l’on roule à 30 km/h, on y est en une heure ; à 60 km/h il faut une demi-heure, et à vélo à 15 km/h deux heures. Deux fois plus de vitesse, moitié moins de temps. La durée du trajet en heures est donc

$$t=\frac{30}{v},$$

où v est la vitesse en kilomètres par heure. C’est exactement la fonction $y=\frac{k}{x}$ avec k = 30.

La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, et plus précisément une hyperbole équilatère, c’est-à-dire dont les asymptotes sont perpendiculaires. Contrairement aux figures de l’article consacré à l’hyperbole, elle est ici tournée de façon à se rapprocher non pas de droites obliques croisées, mais d’une droite horizontale et d’une droite verticale. Voici par exemple la courbe de $y=\frac{x-1}{x-2}$ ; les asymptotes sont les droites en pointillés bleus x = 2 et y = 1 :

La formule doit encore satisfaire deux conditions, c ≠ 0 et ad − bc ≠ 0. Si l’on avait c = 0, il n’y aurait aucun x au dénominateur et l’on obtiendrait une simple fonction affine. Si ad − bc = 0, le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction se simplifie et il reste une fonction constante.

Fonction k sur x

Commençons par la fonction $y=\frac{k}{x}$. On ne peut pas remplacer x par zéro, car on ne peut pas diviser par zéro, donc l’ensemble de définition est ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Mais on n’obtient jamais zéro comme résultat non plus : une fraction dont le numérateur est non nul ne peut pas être nulle. Donc l’ensemble image est aussi $f({\mathcal{D}}_f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Remplaçons x par quelques nombres dans la fonction $y=\frac{2}{x}$. Pour x = 1 on obtient y = 2, pour x = 2 on obtient y = 1, et pour x = 4 on obtient seulement $y=\frac{1}{2}$. Plus x est grand, plus la courbe se rapproche de l’axe des abscisses, sans jamais le toucher. À l’inverse, plus x est proche de zéro, plus y est grand : pour $x=\frac{1}{10}$ on obtient y = 20. La courbe monte donc le long de l’axe des ordonnées. Pour les x négatifs, c’est la même chose, mais avec le signe opposé.

La courbe rouge sur la figure correspond à $y=\frac{2}{x}$, la courbe bleue à $y=-\frac{2}{x}$. Les points orange correspondent aux valeurs que nous venons de calculer. La position des branches dépend du signe de k :

• pour k>0, les branches de l’hyperbole se trouvent dans le premier et le troisième quadrant,
• pour k<0, elles se trouvent dans le deuxième et le quatrième quadrant.

On appelle asymptotes les axes des abscisses et des ordonnées, dont la courbe se rapproche.

Mais attention au piège dans lequel tombe presque tout le monde. La fonction $y=\frac{2}{x}$ est strictement décroissante, non ? Chaque branche rouge décroît en effet, prise séparément. Mais essayons x₁ = −1 et x₂ = 1. On a x₁<x₂, et pourtant f(−1) = −2 est plus petit que f(1) = 2. La fonction n’est donc pas strictement décroissante sur tout ${\mathcal{D}}_f$ : elle est strictement décroissante séparément sur l’intervalle ]−∞ ; 0[ et séparément sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Celui qui écrit qu’elle est strictement décroissante sur ℝ ∖ {0} se trompe.

Courbe translatée et transformation de la forme générale

La courbe de $y=\frac{k}{x}$ peut être translatée comme la parabole de la fonction quadratique. La fonction

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

a la même courbe que $y=\frac{k}{x}$, simplement translatée de m vers la droite et de n vers le haut. Attention au signe : au dénominateur on a x − m, donc $\frac{k}{x-3}$ se décale de trois vers la droite et non vers la gauche. Les asymptotes se décalent elles aussi avec la courbe : ce ne sont plus les axes, mais les droites x = m et y = n. L’asymptote verticale se trouve là où le dénominateur est nul. Quand x se rapproche de m, le dénominateur est minuscule et la fraction énorme, donc la courbe file vers le haut ou vers le bas. L’asymptote horizontale se trouve au niveau de la valeur dont se rapprochent les valeurs de la fonction lorsque x est très loin de zéro, du côté positif comme du côté négatif. La fraction $\frac{k}{x-m}$ est alors presque nulle, et il ne reste que n.

En général, la formule $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ne se présente cependant pas sous cette forme. Montrons la transformation sur la fonction

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Au dénominateur on a x − 1 ; on essaie donc de faire apparaître la même expression au numérateur. Le double de x − 1 vaut 2x − 2 ; pour obtenir le numérateur 2x + 1, il faut encore ajouter trois :

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

On remplace dans la fraction :

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

On sépare la fraction en une somme de deux fractions :

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Dans la première fraction on simplifie x − 1 :

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

On arrive au même résultat en divisant des polynômes : (2x + 1):(x − 1) donne 2 avec un reste de 3. De cette expression on lit facilement m = 1, n = 2 et k = 3. Les asymptotes sont les droites x = 1 et y = 2. Comme k est strictement positif, les branches se trouvent par rapport aux asymptotes en haut à droite et en bas à gauche, comme pour $y=\frac{2}{x}$.

L’ensemble de définition se lit au dénominateur, qui ne doit pas être nul, donc x ≠ 1. En revanche la fonction ne prendra jamais la valeur 2, car la fraction $\frac{3}{x-1}$ ne peut pas être nulle :

$${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},f({\mathcal{D}}_f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Il reste à trouver les points d’intersection avec les axes. Au point d’intersection avec l’axe des abscisses, on a y = 0, et la fraction n’est nulle que si son numérateur est nul :

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Pour trouver le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, on remplace x par zéro :

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

La courbe coupe l’axe des abscisses au point $(-\frac{1}{2};0)$ et l’axe des ordonnées au point (0 ; −1). Les deux points d’intersection sont en orange sur la figure, les asymptotes en pointillés gris :

Remarque qu’on retrouve aussi l’ordonnée à l’origine à partir de la forme transformée : $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Cela concorde.