Proč nejde dělit nulou

Zkuste do kalkulačky zadat 6:0. Kalkulačka se vzbouří a místo výsledku napíše třeba „Error“ nebo „E“. Za tím nestojí rozmar učitelů ani výrobců kalkulaček. Podíváme se na několik důvodů, proč nulou dělit nejde, a všechny dojdou ke stejnému závěru.

Dělení je obrácené násobení

Při výpočtu 12:3 hledáme číslo, které po vynásobení trojkou dá 12. Takové číslo je 4, protože

$4 \cdot 3 = 12.$

Platí tedy 12:3 = 4. Takhle se dělení zavádí a každý podíl si pak můžeme zkouškou ověřit násobením.

Teď stejný postup použijeme na nulu. Kdyby 6:0 bylo nějaké číslo x, muselo by platit

$x \cdot 0 = 6.$

Jenže cokoli krát nula je nula, to víme z násobení nulou. Ať za x dosadíme jedničku, milion, nebo minus tři, vyjde vždycky nula a šestka nikdy. Takové x prostě neexistuje, a podíl 6:0 proto žádný výsledek nemá.

Kolikrát se nula vejde?

Na dělení se dá podívat i jako na opakované odečítání. Podíl 12:3 říká, kolikrát od dvanácti odečteme trojku, než dojdeme na nulu:

$12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0$

Trojka se nám vešla čtyřikrát, takže 12:3 = 4.

Zato u 6:0 bychom od šestky odečítali samé nuly. Po prvním odečtení zůstává 6, po desátém taky 6 a po miliontém zase 6, jen nás to mezitím přestane bavit. Na nulu se nedostaneme nikdy, odečítat bychom mohli donekonečna. Žádný počet odečtení, který by šel napsat jako výsledek, tu není.

Co se děje blízko nuly

Nulou dělit nesmíme, ale čísly hodně blízkými nule ano. Vezměme jedničku a dělme ji čím dál menšími čísly:

$\begin{array}{rcl} 1 : 1 & = & 1 \\ 1 : 0, 1 & = & 10 \\ 1 : 0, 01 & = & 100 \\ 1 : 0,001 & = & 1 000 \end{array}$

Čím menší dělitel, tím větší výsledek. Dělitel 0,000001 už dá milion a výsledek roste nade všechny meze.

Blížíme-li se k nule ze záporné strany, třeba 1:(−0,001) = −1 000, výsledek je čím dál menší a padá do minus nekonečna. Názorně to ukazuje graf funkce $y = \frac{1}{x}$ :

Graf funkce y=1/x

Napravo od nuly křivka vystřelí nahoru, nalevo od nuly se zřítí dolů. Zprava se tedy výsledek blíží nekonečnu, zleva minus nekonečnu, každá strana nás táhne jinam. Ani „nekonečno“ proto jako výsledek 1:0 nesedí. Kdo by chtěl vědět víc, může nahlédnout do článku o jednostranné limitě, kde se přesně tohle chování zapisuje.

Nešlo by prostě říct, že je to nekonečno?

Zkusme to a uvidíme, co se rozbije. Řekněme, že 1:0 = ∞. Stejná úvaha by dala i 2:0 = ∞, protože i dvojka dělená čím dál menšími čísly roste nade všechny meze.

Oba podíly teď prověříme násobením, stejně jako na začátku. Z 1:0 = ∞ plyne ∞ · 0 = 1 a z 2:0 = ∞ plyne ∞ · 0 = 2. Levá strana je v obou případech stejná, takže by muselo platit

$1 = 2.$

To samozřejmě neplatí. S nekonečnem tedy jako s obyčejným číslem počítat nelze.

Matematici ale z nových čísel strach nemají. Odmocnina z minus jedné v reálných číslech neexistuje, a tak zavedli nové číslo i, pro které platí i² = −1. Vznikla tak komplexní čísla a sčítání, násobení i počítání se závorkami v nich dál fungují. U dělení nulou tohle nevyjde: ať by nové číslo vypadalo jakkoli, kdyby pro něj platila obvyklá pravidla počítání, vždycky bychom došli k něčemu jako 1 = 2 a samotné počítání by se rozpadlo.

A co nula děleno nulou?

Tady je potíž opačná. Kdyby 0:0 = x, muselo by platit x · 0 = 0. Tuhle rovnici ale splní úplně každé číslo: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 i (−7) · 0 = 0. Výsledek by nebyl jednoznačný, nevěděli bychom, které číslo vybrat, a proto podíl 0:0 také nedefinujeme. Víc se o něm dočtete v článku o dělení.

Důkaz, že 1 = 2

Dělení nulou se umí šikovně schovat. Mějme dvě stejná čísla a = b, která nejsou nulová, a upravujme:

$\begin{array}{rcl} a & = & b / \cdot a \\ a^{2} & = & a b / - b^{2} \\ a^{2} - b^{2} & = & a b - b^{2} \end{array}$

Levou stranu rozložíme podle vzorce a² − b² = (a + b)(a − b) a z pravé vytkneme b:

$\begin{array}{rcl} (a + b) (a - b) & = & b (a - b) / : (a - b) \\ a + b & = & b \end{array}$

Jelikož a = b, můžeme za a dosadit b:

$\begin{array}{rcl} 2 b & = & b / : b \\ 2 & = & 1 \end{array}$

Každý krok vypadá nevinně, a přesto jsme „dokázali“ nesmysl. Kde se stala chyba? Zkuste na ni přijít, než budete číst dál.

Chyba se skrývá v dělení výrazem a − b. Protože a = b, je a − b = 0, a celou rovnici jsme tedy vydělili nulou. Proto se při úpravách rovnic vždycky hlídá, jestli výraz, kterým dělíme, nemůže být nulový. Poslední dělení číslem b je naopak v pořádku, protože b nulové není.

Viz také

« Předchozí: Dělení čísel

Další: Mnohočleny »