Funzione omografica

La funzione omografica (o lineare fratta) è una funzione che ha al numeratore e al denominatore una funzione lineare:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

La funzione omografica più semplice in assoluto è $y=\frac{k}{x}$. Forse la conosci dalle scuole medie come proporzionalità inversa nella regola del tre. Da Padova a Vicenza ci sono circa 30 chilometri. Se vai a 30 km/h, ci arrivi in un’ora, a 60 km/h in mezz’ora e in bicicletta a 15 km/h in due ore. Velocità doppia, tempo dimezzato. Il tempo di viaggio in ore è quindi

$$t=\frac{30}{v},$$

dove v è la velocità in chilometri all’ora. E questa è proprio la funzione $y=\frac{k}{x}$ con k = 30.

Il grafico della funzione omografica è un’iperbole, e precisamente un’iperbole equilatera, cioè con gli asintoti perpendicolari tra loro. Rispetto alle figure di quell’articolo è inoltre ruotata in modo da non avvicinarsi a due rette oblique che si incrociano, ma a una retta orizzontale e a una verticale. Ecco per esempio il grafico della funzione $y=\frac{x-1}{x-2}$; gli asintoti sono le rette tratteggiate blu x = 2 e y = 1:

Alla formula si aggiungono due condizioni, c ≠ 0 e ad − bc ≠ 0. Se fosse c = 0, al denominatore non ci sarebbe nessuna x e otterremmo una normale funzione lineare. Se invece ad − bc = 0, il numeratore è un multiplo del denominatore, la frazione si semplifica e resta una funzione costante.

La funzione k fratto x

Cominciamo dalla funzione $y=\frac{k}{x}$. Al posto di x non possiamo sostituire zero, perché per zero non si può dividere, e il dominio è quindi Dom f = ℝ ∖ {0}. Ma zero non lo otteniamo mai nemmeno come risultato: una frazione con numeratore diverso da zero non può essere nulla. Perciò anche l’insieme immagine è Im f = ℝ ∖ {0}.

Proviamo a sostituire qualche numero nella funzione $y=\frac{2}{x}$. Per x = 1 otteniamo y = 2, per x = 2 otteniamo y = 1 e per x = 4 solo $y=\frac{1}{2}$. Più x è grande, più il grafico si stringe all’asse x senza mai toccarlo. Al contrario, più x è vicino a zero, più grande è y: per $x=\frac{1}{10}$ otteniamo y = 20. Il grafico quindi schizza verso l’alto lungo l’asse y. Per le x negative è lo stesso, ma con il segno opposto.

La curva rossa nella figura appartiene alla funzione $y=\frac{2}{x}$, quella blu alla funzione $y=-\frac{2}{x}$. I punti arancioni corrispondono ai valori che abbiamo appena calcolato. La posizione dei rami dipende dal segno del numero k:

• per k>0 i rami dell’iperbole stanno nel primo e nel terzo quadrante,
• per k<0 stanno nel secondo e nel quarto quadrante.

Gli assi x e y, a cui il grafico si avvicina, si chiamano asintoti.

Adesso però attenzione a una trappola in cui cadono quasi tutti. La funzione $y=\frac{2}{x}$ è decrescente, no? Ogni ramo rosso preso da solo decresce davvero. Però proviamo con x₁ = −1 e x₂ = 1. Vale x₁<x₂, e tuttavia f(−1) = −2 è minore di f(1) = 2. La funzione quindi non è decrescente su tutto Dom f: è decrescente separatamente sull’intervallo (−∞; 0) e separatamente sull’intervallo (0; +∞). Chi scrive che è decrescente su ℝ ∖ {0} sbaglia.

Grafico traslato e passaggio dalla forma generale

Il grafico della funzione $y=\frac{k}{x}$ si può traslare come la parabola nella funzione quadratica. La funzione

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

ha lo stesso grafico di $y=\frac{k}{x}$, solo traslato di m verso destra e di n verso l’alto. Attenzione al segno: al denominatore c’è x − m, quindi $\frac{k}{x-3}$ si sposta di tre verso destra, non verso sinistra. Insieme al grafico si spostano anche gli asintoti, che non sono più gli assi, ma le rette x = m e y = n. L’asintoto verticale sta dove il denominatore è zero. Quando x si avvicina al numero m, il denominatore è piccolissimo e la frazione enorme, quindi il grafico sale o scende a precipizio. L’asintoto orizzontale sta dove si avvicinano i valori della funzione quando x è molto lontano da zero, sia dalla parte positiva sia da quella negativa. La frazione $\frac{k}{x-m}$ è allora quasi nulla e rimane solo n.

La formula generale $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ però di solito non si presenta in questa forma. Vediamo come trasformare la funzione

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Al denominatore c’è x − 1, quindi proviamo a ottenere la stessa espressione anche al numeratore. Il doppio di x − 1 è 2x − 2 e, per ottenere il numeratore 2x + 1, dobbiamo aggiungere ancora tre:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Sostituiamo nella frazione:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Spezziamo la frazione nella somma di due:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Nella prima frazione semplifichiamo x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Allo stesso risultato arrivi anche con la divisione di polinomi: (2x + 1):(x − 1) dà 2 con resto 3. Dal risultato ricaviamo facilmente m = 1, n = 2 e k = 3. Gli asintoti sono le rette x = 1 e y = 2. Poiché k è positivo, i rami rispetto agli asintoti stanno in alto a destra e in basso a sinistra, come per $y=\frac{2}{x}$.

Il dominio si riconosce dal denominatore, che non può essere nullo, cioè x ≠ 1. Il valore 2 invece la funzione non lo assume mai, perché la frazione $\frac{3}{x-1}$ non può essere nulla:

$$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{1\},\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Restano le intersezioni con gli assi. Nell’intersezione con l’asse x vale y = 0 e una frazione è nulla solo quando è nullo il numeratore:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

L’intersezione con l’asse y la troviamo sostituendo zero al posto di x:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Il grafico taglia l’asse x nel punto $(-\frac{1}{2};0)$ e l’asse y nel punto (0; −1). Entrambe le intersezioni sono in arancione nella figura, gli asintoti in grigio tratteggiato:

Osserva che l’intersezione con l’asse y risulta anche dalla forma trasformata: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Torna.