Lineáris törtfüggvény

A lineáris törtfüggvény olyan függvény, amelynek a számlálójában is és a nevezőjében is lineáris függvény áll:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

A legegyszerűbb lineáris törtfüggvény az $y=\frac{k}{x}$. Talán ismered az általános iskolából fordított arányosságként a hármasszabályból. Budapestről Gödöllőre nagyjából 30 kilométer az út. Ha 30 km/h sebességgel mész, egy óra alatt odaérsz, 60 km/h sebességgel fél óra alatt, kerékpáron 15 km/h sebességgel pedig két óra alatt. Kétszer akkora sebesség, feleannyi idő. Az utazás ideje órában tehát

$$t=\frac{30}{v},$$

ahol v a sebesség kilométer per órában. Ez pedig éppen az $y=\frac{k}{x}$ függvény, ahol k = 30.

A lineáris törtfüggvény grafikonja hiperbola, mégpedig egyenlő oldalú, azaz az aszimptotái merőlegesek egymásra. Az ottani cikk ábráihoz képest ráadásul úgy van elforgatva, hogy nem két egymást metsző ferde egyeneshez simul, hanem egy vízszinteshez és egy függőlegeshez. Így néz ki például az $y=\frac{x-1}{x-2}$ függvény grafikonja, az aszimptoták a kék szaggatott x = 2 és y = 1 egyenesek:

A hozzárendelési szabályhoz még két feltétel tartozik: c ≠ 0 és ad − bc ≠ 0. Ha c = 0 lenne, a nevezőben nem szerepelne x, és egyszerű lineáris függvényt kapnánk. Ha viszont ad − bc = 0, a számláló a nevező többszöröse, a tört egyszerűsíthető, és konstans függvény marad.

A k/x függvény

Kezdjük az $y=\frac{k}{x}$ függvénnyel. x helyére nullát nem írhatunk, mert nullával osztani nem lehet, ezért az értelmezési tartomány D_f = ℝ ∖ {0}. Nullát viszont eredményül sem kapunk soha, mert a nem nulla számlálójú tört nem lehet nulla. Ezért az értékkészlet is R_f = ℝ ∖ {0}.

Helyettesítsünk be néhány számot az $y=\frac{2}{x}$ függvénybe. Ha x = 1, akkor y = 2, ha x = 2, akkor y = 1, ha pedig x = 4, akkor már csak $y=\frac{1}{2}$. Minél nagyobb az x, annál szorosabban simul a grafikon az x tengelyhez, anélkül hogy valaha is érintené. Ezzel szemben minél közelebb van az x a nullához, annál nagyobb y-t kapunk: ha $x=\frac{1}{10}$, akkor y = 20. A grafikon tehát az y tengely mentén meredeken felfelé ível. Negatív x esetén ugyanez a helyzet, csak ellenkező előjellel.

Az ábrán a piros görbe az $y=\frac{2}{x}$ függvényé, a kék az $y=-\frac{2}{x}$ függvényé. A narancssárga pontok az imént kiszámolt értékeknek felelnek meg. Az ágak helyzetét a k előjele dönti el:

• k>0 esetén a hiperbola ágai az I. és a III. síknegyedben vannak,
• k<0 esetén a II. és a IV. síknegyedben.

Az x és az y tengelyt, amelyekhez a grafikon közelít, aszimptotáknak nevezzük.

Most viszont jön egy csapda, amelybe szinte mindenki beleesik. Az $y=\frac{2}{x}$ függvény ugye csökkenő? Mindkét piros ág külön-külön valóban csökken. Csakhogy próbáljuk ki az x₁ = −1 és az x₂ = 1 értéket. Igaz, hogy x₁<x₂, mégis f(−1) = −2 kisebb, mint f(1) = 2. A függvény tehát nem monoton csökkenő az egész D_f halmazon, hanem külön a ]−∞; 0[ intervallumon és külön a ]0; +∞[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Aki azt írja, hogy az ℝ ∖ {0} halmazon szigorúan monoton csökkenő, hibázik.

Eltolt grafikon és az általános alak átalakítása

Az $y=\frac{k}{x}$ függvény grafikonját ugyanúgy eltolhatjuk, mint a parabolát a másodfokú függvénynél. Az

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

függvény grafikonja ugyanaz, mint az $y=\frac{k}{x}$ függvényé, csak m-mel jobbra és n-nel felfelé van eltolva. Figyelj az előjelre: a nevezőben x − m áll, ezért a $\frac{k}{x-3}$ három egységgel jobbra tolódik, nem balra. A grafikonnal együtt az aszimptoták is eltolódnak, így már nem a tengelyek lesznek az aszimptoták, hanem az x = m és az y = n egyenes. A függőleges aszimptota ott van, ahol a nevező nulla. Ha az x az m számhoz közelít, a nevező nagyon kicsi, a tört pedig óriási, ezért a grafikon felfelé vagy lefelé szökik. A vízszintes aszimptota ott van, ahová a függvényértékek közelítenek, ha az x nagyon messze van a nullától, a pozitív és a negatív oldalon is. A $\frac{k}{x-m}$ tört ilyenkor szinte nulla, és csak az n marad.

Az általános $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ hozzárendelési szabályt azonban általában nem ebben az alakban kapjuk meg. Az átalakítást az

$$y=\frac{2x+1}{x-1}$$

függvényen mutatjuk meg. A nevezőben x − 1 áll, ezért próbáljuk meg ugyanezt a kifejezést a számlálóban is előállítani. Az x − 1 kétszerese 2x − 2, és hogy ebből 2x + 1 legyen, még hármat hozzá kell adnunk:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Behelyettesítünk a törtbe:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

A törtet két tört összegére bontjuk:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Az első törtben egyszerűsítünk az x − 1 kifejezéssel:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Ugyanerre az eredményre jutsz polinomok osztásával is: a (2x + 1):(x − 1) osztás hányadosa 2, maradéka 3. Az eredményből már könnyen kiolvasható, hogy m = 1, n = 2 és k = 3. Az aszimptoták az x = 1 és az y = 2 egyenes. Mivel k pozitív, az ágak az aszimptotákhoz képest jobbra fent és balra lent helyezkednek el, hasonlóan az $y=\frac{2}{x}$ függvényhez.

Az értelmezési tartományt a nevezőből ismerjük meg, amely nem lehet nulla, tehát x ≠ 1. A 2 értéket a függvény viszont soha nem veszi fel, mert a $\frac{3}{x-1}$ tört nem lehet nulla:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},R_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Hátravannak a tengelymetszetek. Az x tengellyel alkotott metszéspontban y = 0, a tört pedig csak akkor nulla, ha a számláló nulla:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Az y tengellyel alkotott metszéspontot úgy kapjuk meg, hogy x helyére nullát írunk:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

A grafikon az x tengelyt a $(-\frac{1}{2};0)$ pontban, az y tengelyt a (0; −1) pontban metszi. Mindkét metszéspont narancssárga az ábrán, az aszimptoták szürke szaggatott vonallal vannak jelölve:

Vedd észre, hogy az y tengellyel alkotott metszéspont az átalakított alakból is kijött: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Stimmel.