Rationell funktion

En linjär bråkfunktion (en enkel rationell funktion) är en funktion som har en linjär funktion både i täljaren och i nämnaren:

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Den allra enklaste linjära bråkfunktionen är $y = \frac{k}{x}$ . Kanske känner du igen den från grundskolan som omvänd proportionalitet. Från Göteborg till Kungsbacka är det ungefär 30 kilometer. Om du åker 30 km/h är du framme efter en timme, med 60 km/h efter en halvtimme, och på cykel med 15 km/h kommer du fram efter två timmar. Dubbelt så hög hastighet, hälften så lång tid. Restiden i timmar är alltså

$t = \frac{30}{v},$

där v är hastigheten i kilometer per timme. Och det är precis funktionen $y = \frac{k}{x}$ med k = 30.

Grafen till en linjär bråkfunktion är en hyperbel, och dessutom en rektangulär sådan, alltså med asymptoter som är vinkelräta mot varandra. Jämfört med figurerna i den artikeln är den dessutom vriden så att den inte närmar sig två korsande sneda linjer utan en vågrät och en lodrät. Så här ser till exempel grafen till funktionen $y = \frac{x - 1}{x - 2}$ ut, asymptoterna är de blå streckade linjerna x = 2 och y = 1:

$Grafen till funktionen y=\frac{x-1}{x-2} med asymptoterna x=2 och y=1$

Till uttrycket hör ytterligare två villkor, c ≠ 0 och ad − bc ≠ 0. Om c = 0 skulle det inte finnas något x i nämnaren och vi skulle få en vanlig linjär funktion. Om ad − bc = 0 är i stället täljaren en multipel av nämnaren, bråket förkortas och kvar blir en konstant funktion.

Funktionen k genom x

Vi börjar med funktionen $y = \frac{k}{x}$ . Vi får inte sätta in noll för x, eftersom division med noll inte är definierad, och definitionsmängden är därför D_f = ℝ ∖ {0}. Noll får vi inte heller som resultat, ett bråk med en täljare som inte är noll kan aldrig vara noll. Därför är också värdemängden V_f = ℝ ∖ {0}.

Vi prövar att sätta in några tal i funktionen $y = \frac{2}{x}$ . För x = 1 får vi y = 2, för x = 2 får vi y = 1 och för x = 4 bara $y = \frac{1}{2}$ . Ju större x, desto närmare ligger grafen x-axeln, utan att någonsin röra den. Och ju närmare noll x ligger, desto större blir y: för $x = \frac{1}{10}$ får vi y = 20. Grafen skjuter alltså uppåt längs y-axeln. För negativa x är det samma sak, fast med motsatt tecken.

$Grafen till funktionen y=\frac{2}{x} (rött) och y=-\frac{2}{x} (blått)$

Den röda kurvan i figuren hör till funktionen $y = \frac{2}{x}$ , den blå till funktionen $y = - \frac{2}{x}$ . De orangea punkterna motsvarar de värden vi nyss räknade ut. Hur hyperbelns grenar ligger avgörs av tecknet på talet k:

för k>0 ligger hyperbelns grenar i första och tredje kvadranten,
för k<0 ligger de i andra och fjärde kvadranten.

Axlarna x och y, som grafen närmar sig, kallas asymptoter.

Nu en fälla som nästan alla går i. Funktionen $y = \frac{2}{x}$ är väl avtagande? Varje röd gren för sig avtar visserligen. Men vi prövar x₁ = −1 och x₂ = 1. Det gäller att x₁<x₂, och ändå är f(−1) = −2 mindre än f(1) = 2. Funktionen är alltså inte strängt avtagande på hela D_f, utan strängt avtagande var för sig på intervallet ]−∞, 0[ och på intervallet ]0, +∞[. Den som skriver att den är avtagande på ℝ ∖ {0} har fel.

Förskjuten graf och omskrivning av den allmänna formen

Grafen till funktionen $y = \frac{k}{x}$ kan vi förskjuta på samma sätt som parabeln för en andragradsfunktion. Funktionen

$y = \frac{k}{x - m} + n$

har samma graf som $y = \frac{k}{x}$ , bara förskjuten m enheter åt höger och n enheter uppåt. Se upp med tecknet: i nämnaren står x − m, så $\frac{k}{x - 3}$ förskjuts tre steg åt höger, inte åt vänster. Asymptoterna förskjuts tillsammans med grafen, så de är inte längre axlarna utan linjerna x = m och y = n. Den lodräta asymptoten ligger där nämnaren är noll. När x närmar sig talet m blir nämnaren pytteliten och bråket enormt, så grafen rusar uppåt eller nedåt. Den vågräta asymptoten ligger där funktionsvärdena hamnar när x ligger långt från noll, åt både positivt och negativt håll. Bråket $\frac{k}{x - m}$ är då nästan noll och kvar blir bara n.

En funktion på den allmänna formen $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ är dock oftast inte skriven på det här sättet. Vi visar hur man skriver om funktionen

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .$

I nämnaren står x − 1, så vi försöker få fram samma uttryck i täljaren. Två gånger x − 1 är 2x − 2, och för att få täljaren 2x + 1 måste vi addera ytterligare tre:

$2 x + 1 = 2 \cdot (x - 1) + 3$

Vi sätter in i bråket:

$y = \frac{2 \cdot (x - 1) + 3}{x - 1}$

Vi delar upp bråket i en summa av två:

$y = \frac{2 \cdot (x - 1)}{x - 1} + \frac{3}{x - 1}$

I det första bråket förkortar vi x − 1:

$y = 2 + \frac{3}{x - 1}$

Du kommer fram till samma resultat med polynomdivision: (2x + 1):(x − 1) blir 2 med resten 3. Ur resultatet kan vi lätt läsa av m = 1, n = 2 och k = 3. Asymptoterna är linjerna x = 1 och y = 2. Eftersom k är positivt ligger grenarna i förhållande till asymptoterna uppe till höger och nere till vänster, ungefär som för $y = \frac{2}{x}$ .

Definitionsmängden ser vi på nämnaren, som inte får vara noll, alltså x ≠ 1. Värdet 2 antar funktionen däremot aldrig, eftersom bråket $\frac{3}{x - 1}$ inte kan vara noll:

$D_{f} = R ∖ {1}, V_{f} = R ∖ {2}$

Återstår skärningspunkterna med axlarna. I skärningspunkten med x-axeln är y = 0, och ett bråk är noll bara om täljaren är noll:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & 0 / - 1 \\ 2 x & = & - 1 / : 2 \\ x & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

Skärningspunkten med y-axeln hittar vi genom att sätta in noll för x:

$y = \frac{2 \cdot 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Grafen skär x-axeln i punkten $(- \frac{1}{2}, 0)$ och y-axeln i punkten (0, −1). Båda skärningspunkterna är orangea i figuren, asymptoterna är grå och streckade:

$Grafen till funktionen y=\frac{2x+1}{x-1} med asymptoterna x=1 och y=2$

Lägg märke till att skärningspunkten med y-axeln också går att få ur den omskrivna formen: $2 + \frac{3}{0 - 1} = 2 - 3 = - 1$ . Det stämmer.

« Föregående: Andragradsfunktion

Nästa: Exponentialfunktion »