Função homográfica

A função homográfica é uma função que tem, no numerador e no denominador, uma função afim:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

A função mais simples desse tipo é $y=\frac{k}{x}$. Talvez você a conheça do ensino fundamental como a proporcionalidade inversa da regra de três. Do centro do Rio de Janeiro até a Barra da Tijuca são cerca de 30 quilômetros. Se você for a 30 km/h, chegará lá em uma hora; a 60 km/h, em meia hora; e de bicicleta a 15 km/h, chegará em duas horas. Velocidade duas vezes maior, metade do tempo. O tempo de viagem em horas é, portanto,

$$t=\frac{30}{v},$$

em que v é a velocidade em quilômetros por hora. E essa é justamente a função $y=\frac{k}{x}$ com k = 30.

O gráfico dessa função é uma hipérbole, e uma hipérbole equilátera, isto é, com assíntotas perpendiculares entre si. Em comparação com as figuras do artigo correspondente, ela está além disso girada de modo que não se aproxima de retas oblíquas que se cruzam, mas de uma reta horizontal e uma vertical. Assim é, por exemplo, o gráfico da função $y=\frac{x-1}{x-2}$; as assíntotas são as retas tracejadas azuis x = 2 e y = 1:

A lei vem acompanhada ainda de duas condições, c ≠ 0 e ad − bc ≠ 0. Se fosse c = 0, no denominador não haveria nenhum x e obteríamos uma função afim comum. Quando ad − bc = 0, por sua vez, o numerador é múltiplo do denominador, a fração se simplifica e resta uma função constante.

A função k sobre x

Começamos pela função $y=\frac{k}{x}$. No lugar de x não podemos substituir o zero, porque não sabemos dividir por zero, e o domínio é, por isso, D(f) = ℝ ∖ {0}. Mas também nunca obtemos zero como resultado: uma fração com numerador diferente de zero não pode ser nula. Por isso também o conjunto imagem é Im(f) = ℝ ∖ {0}.

Vamos tentar substituir alguns números na função $y=\frac{2}{x}$. Para x = 1 obtemos y = 2, para x = 2 obtemos y = 1 e para x = 4 apenas $y=\frac{1}{2}$. Quanto maior o x, mais rente o gráfico se aproxima do eixo x, sem nunca tocá-lo. Por outro lado, quanto mais perto de zero está o x, maior o y que obtemos: para $x=\frac{1}{10}$ obtemos y = 20. O gráfico, então, dispara para cima ao longo do eixo y. Para x negativos é o mesmo, só que com o sinal oposto.

A curva vermelha da figura pertence à função $y=\frac{2}{x}$, a azul à função $y=-\frac{2}{x}$. Os pontos laranja correspondem aos valores que acabamos de calcular. A posição dos ramos é decidida pelo sinal do número k:

• para k>0, os ramos da hipérbole ficam no 1º e no 3º quadrantes,
• para k<0, ficam no 2º e no 4º quadrantes.

Os eixos x e y, dos quais o gráfico se aproxima, são chamados de assíntotas.

Agora, porém, cuidado com uma armadilha em que cai quase todo mundo. A função $y=\frac{2}{x}$ é decrescente, certo? Cada ramo vermelho, separadamente, realmente decresce. Mas tentemos x₁ = −1 e x₂ = 1. Vale x₁<x₂ e, no entanto, f(−1) = −2 é menor que f(1) = 2. A função não é decrescente em todo o D(f); ela é decrescente separadamente no intervalo ]−∞, 0[ e separadamente no intervalo ]0, +∞[. Quem escreve que ela é decrescente em ℝ ∖ {0} comete um erro.

Gráfico deslocado e conversão da forma geral

Podemos deslocar o gráfico da função $y=\frac{k}{x}$ do mesmo modo que a parábola na função quadrática. A função

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

tem o mesmo gráfico que $y=\frac{k}{x}$, só que deslocado m para a direita e n para cima. Atenção ao sinal: no denominador está x − m, então $\frac{k}{x-3}$ é deslocada três para a direita, não para a esquerda. Com o gráfico se deslocam também as assíntotas, que então já não são os eixos, mas as retas x = m e y = n. A assíntota vertical fica onde há zero no denominador. Quando x se aproxima do número m, o denominador é minúsculo e a fração, enorme, então o gráfico dispara para cima ou para baixo. A assíntota horizontal fica para onde os valores da função se aproximam quando x está muito longe de zero, tanto do lado positivo quanto do negativo. A fração $\frac{k}{x-m}$ é então quase nula e sobra só n.

Porém, normalmente a lei geral $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ não vem nessa forma. Vamos mostrar a conversão para a função

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

No denominador está x − 1, e então tentamos produzir a mesma expressão também no numerador. O dobro de x − 1 é 2x − 2 e, para obter disso o numerador 2x + 1, precisamos ainda somar três:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Substituímos na fração:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Dividimos a fração em uma soma de duas:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Na primeira fração simplificamos x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Ao mesmo resultado você chega também pela divisão de polinômios: (2x + 1):(x − 1) dá 2 com resto 3. Do resultado já lemos facilmente m = 1, n = 2 e k = 3. As assíntotas são as retas x = 1 e y = 2. Como k é positivo, os ramos ficam, em relação às assíntotas, acima e à direita e abaixo e à esquerda, de modo semelhante a $y=\frac{2}{x}$.

Reconhecemos o domínio pelo denominador, que não pode ser nulo, ou seja, x ≠ 1. Por outro lado, a função nunca assume o valor 2, porque a fração $\frac{3}{x-1}$ não pode ser nula:

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Faltam as interseções com os eixos. Na interseção com o eixo x temos y = 0, e a fração é nula somente quando o numerador é nulo:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Encontramos a interseção com o eixo y substituindo x por zero:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

O gráfico corta o eixo x no ponto $(-\frac{1}{2},0)$ e o eixo y no ponto (0, −1). Os dois pontos de interseção estão na figura em laranja, as assíntotas em cinza tracejado:

Repare que a interseção com o eixo y saiu também da forma simplificada: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Confere.