Doğrusal Kesirli Fonksiyon

Doğrusal kesirli fonksiyon, payında da paydasında da doğrusal fonksiyon bulunan bir fonksiyondur:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

En basit doğrusal kesirli fonksiyon $y=\frac{k}{x}$ fonksiyonudur. Belki onu ortaokuldan ters orantı olarak, orantı kurarak çözme konusundan tanırsın. Bursa’dan Gemlik’e yaklaşık 30 kilometredir. Saatte 30 km hızla gidersen bir saatte varırsın, saatte 60 km hızla yarım saatte, bisikletle saatte 15 km hızla ise iki saatte. Hız iki katına çıkınca süre yarıya iner. Yolculuk süresi saat cinsinden şöyledir:

$$t=\frac{30}{v},$$

burada v hızdır (saatte kilometre cinsinden). İşte bu, tam olarak k = 30 olan $y=\frac{k}{x}$ fonksiyonudur.

Doğrusal kesirli fonksiyonun grafiği bir hiperboldür ve üstelik eşkenar hiperboldür, yani asimptotları birbirine diktir. Oradaki makalenin şekillerinden farkı, çapraz duran eğik doğrulara değil, bir yatay ve bir düşey doğruya yaklaşacak biçimde döndürülmüş olmasıdır. Örneğin $y=\frac{x-1}{x-2}$ fonksiyonunun grafiği böyle görünür; asimptotlar mavi kesikli x = 2 ve y = 1 doğrularıdır:

Kurala ayrıca iki koşul daha eşlik eder: c ≠ 0 ve ad − bc ≠ 0. c = 0 olsaydı paydada hiç x olmazdı ve sıradan bir doğrusal fonksiyon elde ederdik. ad − bc = 0 olduğunda ise pay paydanın bir katıdır, kesir sadeleşir ve geriye sabit fonksiyon kalır.

k bölü x Fonksiyonu

$y=\frac{k}{x}$ fonksiyonuyla başlayalım. x yerine sıfır yazamayız, çünkü sıfıra bölemeyiz; bu yüzden tanım kümesi ℝ ∖ {0} kümesidir. Ama sonuç olarak da hiçbir zaman sıfır elde etmeyiz, payı sıfırdan farklı bir kesir sıfır olamaz. Bu nedenle görüntü kümesi de ℝ ∖ {0} kümesidir.

$y=\frac{2}{x}$ fonksiyonunda birkaç sayıyı deneyelim. x = 1 için y = 2, x = 2 için y = 1 ve x = 4 için artık yalnızca $y=\frac{1}{2}$ bulunur. x büyüdükçe grafik x eksenine daha da sokulur, ama ona hiçbir zaman dokunmaz. Tersine, x sıfıra yaklaştıkça y büyür: $x=\frac{1}{10}$ için y = 20 çıkar. Yani grafik y ekseni boyunca yukarı fırlar. Negatif x değerlerinde de durum aynıdır, yalnızca işaret ters olur.

Şekildeki kırmızı eğri $y=\frac{2}{x}$ fonksiyonuna, mavi eğri $y=-\frac{2}{x}$ fonksiyonuna aittir. Turuncu noktalar az önce hesapladığımız değerlere karşılık gelir. Kolların konumunu k sayısının işareti belirler:

• k>0 için hiperbolün kolları I. ve III. bölgede yer alır,
• k<0 için II. ve IV. bölgede yer alır.

Grafiğin yaklaştığı x ve y eksenlerine asimptot denir.

Şimdi neredeyse herkesin düştüğü tuzağa dikkat et. $y=\frac{2}{x}$ fonksiyonu azalan değil mi? Her kırmızı kol tek başına gerçekten azalıyor. Ama x₁ = −1 ve x₂ = 1 değerlerini deneyelim. x₁<x₂ olur ve buna rağmen f(−1) = −2, f(1) = 2 değerinden küçüktür. Demek ki fonksiyon tüm tanım kümesinde azalan değildir; (−∞, 0) aralığında ayrı, (0, ∞) aralığında ayrı olarak azalandır. Fonksiyonun ℝ ∖ {0} kümesinde azalan olduğunu yazan kişi hata yapmış olur.

Kaydırılmış Grafik ve Genel Biçimin Dönüştürülmesi

$y=\frac{k}{x}$ fonksiyonunun grafiğini, ikinci dereceden fonksiyondaki parabolü kaydırdığımız gibi kaydırabiliriz.

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

fonksiyonunun grafiği $y=\frac{k}{x}$ grafiğiyle aynıdır, yalnızca m birim sağa ve n birim yukarı kaydırılmıştır. İşarete dikkat: paydada x − m vardır, dolayısıyla $\frac{k}{x-3}$ üç birim sola değil, üç birim sağa kayar. Grafikle birlikte asimptotlar da kayar; artık eksenler değil, x = m ve y = n doğrularıdır. Düşey asimptot, paydanın sıfır olduğu yerdedir. x sayısı m değerine yaklaşırken payda minicik, kesir devasa olur; bu yüzden grafik yukarı ya da aşağı fırlar. Yatay asimptot, x sıfırdan çok uzaktayken, hem pozitif hem negatif tarafta, fonksiyon değerlerinin yaklaştığı yerdedir. O zaman $\frac{k}{x-m}$ kesri neredeyse sıfırdır ve geriye yalnızca n kalır.

Ancak $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ genel kuralı çoğunlukla bu biçimde karşımıza çıkmaz. Dönüştürmeyi şu fonksiyon üzerinde gösterelim:

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Paydada x − 1 var, o hâlde aynı ifadeyi payın içinde de elde etmeye çalışalım. x − 1 ifadesinin iki katı 2x − 2 eder ve bundan 2x + 1 payını elde etmek için bir de üç eklememiz gerekir:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Bunu kesirde yerine yazalım:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Kesri iki kesrin toplamı olarak ayıralım:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

İlk kesirde x − 1 ifadesini sadeleştirelim:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Aynı sonuca polinomlarda bölme ile de ulaşırsın: (2x + 1):(x − 1) işleminin bölümü 2, kalanı 3 çıkar. Sonuçtan m = 1, n = 2 ve k = 3 değerlerini kolayca okuruz. Asimptotlar x = 1 ve y = 2 doğrularıdır. k pozitif olduğundan kollar asimptotlara göre sağ üstte ve sol altta yer alır, tıpkı $y=\frac{2}{x}$ fonksiyonunda olduğu gibi.

Tanım kümesini, sıfır olamayan paydadan anlarız: x ≠ 1. Buna karşılık fonksiyon 2 değerini hiçbir zaman almaz, çünkü $\frac{3}{x-1}$ kesri sıfır olamaz:

$$\text{tanım kümesi}=\mathbb{R}\setminus \{1\},\text{görüntü kümesi}=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Geriye eksenlerle kesişim noktaları kalıyor. x eksenini kestiği noktada y = 0 olur ve bir kesir yalnızca payı sıfır olduğunda sıfırdır:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

y eksenini kestiği noktayı, x yerine sıfır yazarak buluruz:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Grafik x eksenini $(-\frac{1}{2},0)$ noktasında, y eksenini (0, −1) noktasında keser. İki kesişim noktası şekilde turuncu, asimptotlar gri kesik çizgiyle gösterilmiştir:

y eksenini kestiği noktanın sadeleştirilmiş biçimden de çıktığına dikkat et: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Uyuyor.