Lineær brøkfunksjon

En lineær brøkfunksjon er en funksjon som har en lineær funksjon både i telleren og i nevneren:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Den aller enkleste lineære brøkfunksjonen er $y=\frac{k}{x}$. Kanskje kjenner du den fra ungdomsskolen som omvendt proporsjonalitet fra enhetsmetoden. Fra Bergen til Os er det omtrent 30 kilometer. Hvis du kjører 30 km/h, er du fram på én time, ved 60 km/h på en halv time, og på sykkel med 15 km/h kommer du fram etter to timer. Dobbelt så høy fart, halvparten av tiden. Kjøretiden i timer er altså

$$t=\frac{30}{v},$$

der v er farten i kilometer per time. Og det er nettopp funksjonen $y=\frac{k}{x}$ med k = 30.

Grafen til en lineær brøkfunksjon er en hyperbel, og det en likesidet hyperbel, altså med asymptoter som står vinkelrett på hverandre. I forhold til figurene i artikkelen om hyperbelen er den i tillegg dreid slik at den ikke nærmer seg skråstilte kryssende linjer, men en vannrett og en loddrett. Slik ser for eksempel grafen til funksjonen $y=\frac{x-1}{x-2}$ ut, og asymptotene er de blå stiplede linjene x = 2 og y = 1:

Til funksjonsuttrykket hører også to betingelser, c ≠ 0 og ad − bc ≠ 0. Hvis c = 0, ville det ikke stå noe x i nevneren, og vi ville fått en vanlig lineær funksjon. Hvis ad − bc = 0, er teller et multiplum av nevner, brøken forkortes, og det blir en konstant funksjon igjen.

Funksjonen k over x

Vi begynner med funksjonen $y=\frac{k}{x}$. Vi kan ikke sette inn null for x, siden vi ikke kan dele på null, og definisjonsmengden er derfor D_f = ℝ ∖ {0}. Null får vi heller aldri som resultat, for en brøk med teller forskjellig fra null kan ikke være null. Derfor er også verdimengden V_f = ℝ ∖ {0}.

Vi prøver å sette inn noen tall i funksjonen $y=\frac{2}{x}$. For x = 1 får vi y = 2, for x = 2 får vi y = 1, og for x = 4 bare $y=\frac{1}{2}$. Jo større x, desto tettere nærmer grafen seg x-aksen, uten noen gang å berøre den. Omvendt, jo nærmere x kommer null, desto større y får vi: for $x=\frac{1}{10}$ får vi y = 20. Grafen skyter altså oppover langs y-aksen. For negative x er det det samme, bare med motsatt fortegn.

Den røde kurven på figuren hører til funksjonen $y=\frac{2}{x}$, den blå til funksjonen $y=-\frac{2}{x}$. De oransje punktene tilsvarer verdiene vi akkurat har regnet ut. Fortegnet til tallet k avgjør hvor grenene ligger:

• for k>0 ligger grenene til hyperbelen i 1. og 3. kvadrant,
• for k<0 ligger de i 2. og 4. kvadrant.

Aksene x og y, som grafen nærmer seg, kaller vi asymptoter.

Nå må du passe deg for en felle nesten alle går i. Funksjonen $y=\frac{2}{x}$ er vel avtagende? Hver røde gren for seg avtar faktisk. Men la oss prøve x₁ = −1 og x₂ = 1. Det gjelder x₁<x₂, og likevel er f(−1) = −2 mindre enn f(1) = 2. Funksjonen er altså ikke strengt avtagende på hele D_f, den er strengt avtagende hver for seg på intervallet ⟨ ← , 0⟩ og på intervallet ⟨0, → ⟩. Den som skriver at den er strengt avtagende på ℝ ∖ {0}, har gjort en feil.

Forskjøvet graf og omforming av den generelle formen

Grafen til funksjonen $y=\frac{k}{x}$ kan vi forskyve på samme måte som parabelen for en andregradsfunksjon. Funksjonen

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

har den samme grafen som $y=\frac{k}{x}$, bare forskjøvet m til høyre og n opp. Pass på fortegnet: i nevneren står x − m, så $\frac{k}{x-3}$ forskyves tre til høyre, ikke til venstre. Sammen med grafen forskyves også asymptotene, så de er ikke lenger aksene, men linjene x = m og y = n. Den loddrette asymptoten ligger der nevneren er null. Når x nærmer seg tallet m, er nevneren veldig liten og brøken veldig stor, så grafen skyter oppover eller nedover. Den vannrette asymptoten ligger der funksjonsverdiene nærmer seg når x er langt unna null, både på den positive og den negative siden. Brøken $\frac{k}{x-m}$ er da nesten null, og bare n blir igjen.

Det generelle funksjonsuttrykket $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ har vi imidlertid vanligvis ikke på denne formen. Vi viser omformingen for funksjonen

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

I nevneren står x − 1, så vi prøver å lage det samme uttrykket i telleren. Det dobbelte av x − 1 er 2x − 2, og for at telleren skal bli 2x + 1, må vi legge til tre til:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Vi setter inn i brøken:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Vi deler brøken opp i en sum av to:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

I den første brøken forkorter vi bort x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Til det samme resultatet kommer du også med polynomdivisjon: (2x + 1):(x − 1) gir 2 med rest 3. Fra resultatet kan vi lett lese av m = 1, n = 2 og k = 3. Asymptotene er linjene x = 1 og y = 2. Siden k er positiv, ligger grenene til høyre over og til venstre under asymptotene, på samme måte som for $y=\frac{2}{x}$.

Definisjonsmengden finner vi ut fra nevneren, som ikke kan være null, altså x ≠ 1. Verdien 2 tar funksjonen derimot aldri, fordi brøken $\frac{3}{x-1}$ ikke kan være null:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},V_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Det gjenstår skjæringspunktene med aksene. I skjæringspunktet med x-aksen er y = 0, og en brøk er null bare når telleren er null:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Skjæringspunktet med y-aksen finner vi ved å sette inn null for x:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Grafen skjærer x-aksen i punktet $(-\frac{1}{2},0)$ og y-aksen i punktet (0, −1). Begge skjæringspunktene er oransje på figuren, og asymptotene er grå og stiplede:

Legg merke til at skjæringspunktet med y-aksen også kommer ut av den omformede formen: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Det stemmer.