Gebroken lineaire functie

Een gebroken lineaire functie is een functie die in de teller en in de noemer een lineaire functie heeft:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

De allereenvoudigste gebroken lineaire functie is $y=\frac{k}{x}$. Misschien ken je haar uit de onderbouw als omgekeerd evenredig verband uit de verhoudingstabel. Van Groningen naar Assen is het ongeveer 30 kilometer. Als je 30 km/h rijdt, ben je er na een uur, bij 60 km/h na een half uur en op de fiets met 15 km/h kom je na twee uur aan. Twee keer zo hoge snelheid, de helft van de tijd. De reistijd in uren is dus

$$t=\frac{30}{v},$$

waarbij v de snelheid in kilometers per uur is. En dat is precies de functie $y=\frac{k}{x}$ met k = 30.

De grafiek van een gebroken lineaire functie is een hyperbool, en wel een gelijkzijdige, dus met asymptoten die loodrecht op elkaar staan. In vergelijking met de afbeeldingen in dat artikel is ze bovendien zo gedraaid dat ze niet naar gekruiste schuine lijnen toe loopt, maar naar een horizontale en een verticale. Zo ziet bijvoorbeeld de grafiek van de functie $y=\frac{x-1}{x-2}$ eruit, de asymptoten zijn de blauwe gestippelde lijnen x = 2 en y = 1:

Bij het voorschrift horen nog twee voorwaarden, c ≠ 0 en ad − bc ≠ 0. Als c = 0, zou er in de noemer geen x staan en zouden we een gewone lineaire functie krijgen. Bij ad − bc = 0 is de teller juist een veelvoud van de noemer, de breuk kun je vereenvoudigen en er blijft een constante functie over.

De functie k gedeeld door x

We beginnen met de functie $y=\frac{k}{x}$. Voor x mogen we geen nul invullen, omdat we niet door nul kunnen delen, en het domein is daarom D_f = ℝ ∖ {0}. Nul krijgen we echter ook nooit als uitkomst, een breuk met een teller ongelijk aan nul kan niet nul zijn. Daarom is ook het bereik B_f = ℝ ∖ {0}.

We proberen een paar getallen in te vullen in de functie $y=\frac{2}{x}$. Voor x = 1 krijgen we y = 2, voor x = 2 krijgen we y = 1 en voor x = 4 nog maar $y=\frac{1}{2}$. Hoe groter x, hoe dichter de grafiek tegen de x-as aan komt, zonder haar ooit aan te raken. Omgekeerd krijgen we, hoe dichter x bij nul ligt, een steeds grotere y: voor $x=\frac{1}{10}$ krijgen we y = 20. De grafiek schiet dus langs de y-as omhoog. Bij negatieve x is het hetzelfde, alleen met het tegengestelde teken.

De rode kromme in de afbeelding hoort bij de functie $y=\frac{2}{x}$, de blauwe bij de functie $y=-\frac{2}{x}$. De oranje punten komen overeen met de waarden die we zojuist hebben uitgerekend. Het teken van het getal k bepaalt de ligging van de takken:

• voor k>0 liggen de takken van de hyperbool in het eerste en derde kwadrant,
• voor k<0 liggen ze in het tweede en vierde kwadrant.

De assen x en y, waar de grafiek naartoe loopt, noemen we asymptoten.

Nu moeten we oppassen voor een valkuil waar bijna iedereen intrapt. De functie $y=\frac{2}{x}$ is toch strikt dalend, of niet? Elke rode tak afzonderlijk daalt inderdaad. Maar probeer x₁ = −1 en x₂ = 1. Er geldt x₁<x₂, en toch is f(−1) = −2 kleiner dan f(1) = 2. De functie is dus niet strikt dalend op het hele D_f, ze is strikt dalend afzonderlijk op het interval ⟨ ← , 0⟩ en afzonderlijk op het interval ⟨0, → ⟩. Wie schrijft dat ze strikt dalend is op ℝ ∖ {0}, maakt een fout.

Verschoven grafiek en herleiden van de algemene vorm

De grafiek van de functie $y=\frac{k}{x}$ kunnen we verschuiven zoals de parabool bij de kwadratische functie. De functie

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

heeft dezelfde grafiek als $y=\frac{k}{x}$, alleen m naar rechts en n omhoog verschoven. Let op het teken: in de noemer staat x − m, dus $\frac{k}{x-3}$ wordt drie naar rechts verschoven, niet naar links. Met de grafiek verschuiven ook de asymptoten mee, dus dat zijn niet meer de assen, maar de lijnen x = m en y = n. De verticale asymptoot ligt waar de noemer nul is. Als x het getal m nadert, is de noemer piepklein en de breuk enorm, dus de grafiek schiet omhoog of omlaag. De horizontale asymptoot ligt waar de functiewaarden naartoe gaan als x heel ver van nul af ligt, aan de positieve en aan de negatieve kant. De breuk $\frac{k}{x-m}$ is dan bijna nul en er blijft alleen n over.

Het algemene voorschrift $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ hebben we echter meestal niet in deze vorm. Als voorbeeld herleiden we de functie

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

In de noemer staat x − 1, dus we proberen dezelfde uitdrukking ook in de teller te maken. Twee keer x − 1 is 2x − 2, en om daaruit de teller 2x + 1 te krijgen, moeten we er nog drie bij optellen:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

We vullen dit in de breuk in:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

De breuk splitsen we in een som van twee breuken:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

In de eerste breuk delen we x − 1 weg:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Tot hetzelfde resultaat kom je ook met staartdeling van veeltermen: (2x + 1):(x − 1) geeft 2 met een rest van 3. Uit het resultaat kunnen we gemakkelijk m = 1, n = 2 en k = 3 aflezen. De asymptoten zijn de lijnen x = 1 en y = 2. Omdat k positief is, liggen de takken ten opzichte van de asymptoten rechtsboven en linksonder, net als bij $y=\frac{2}{x}$.

Het domein herkennen we aan de noemer, die niet nul mag zijn, dus x ≠ 1. De waarde 2 neemt de functie daarentegen nooit aan, omdat de breuk $\frac{3}{x-1}$ niet nul kan zijn:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},B_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Dan blijven de snijpunten met de assen over. In het snijpunt met de x-as is y = 0 en een breuk is alleen nul als de teller nul is:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Het snijpunt met de y-as vinden we door voor x nul in te vullen:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

De grafiek snijdt de x-as in het punt $(-\frac{1}{2},0)$ en de y-as in het punt (0, −1). Beide snijpunten staan in de afbeelding oranje, de asymptoten grijs gestippeld:

Merk op dat het snijpunt met de y-as ook uit de herleide vorm volgt: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Dat klopt.