Lineaarinen murtofunktio

Lineaarinen murtofunktio on funktio, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on lineaarinen funktio:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Yksinkertaisin lineaarinen murtofunktio on $y=\frac{k}{x}$. Saatat tuntea sen jo peruskoulun verrantolaskuista kääntäen verrannollisuutena. Helsingistä Keravalle on noin 30 kilometriä. Jos ajat nopeudella 30 km/h, olet perillä tunnissa, nopeudella 60 km/h puolessa tunnissa ja pyörällä nopeudella 15 km/h kahdessa tunnissa. Nopeus kaksinkertaistuu, aika puolittuu. Matka-aika tunteina on siis

$$t=\frac{30}{v},$$

jossa v on nopeus kilometreinä tunnissa. Ja tämä on juuri funktio $y=\frac{k}{x}$, kun k = 30.

Lineaarisen murtofunktion kuvaaja on hyperbeli, ja se on suorakulmainen hyperbeli, eli sen asymptootit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Hyperbeliä käsittelevän artikkelin kuviin verrattuna se on lisäksi käännetty niin, ettei se lähesty ristikkäisiä vinoja suoria, vaan vaakasuoraa ja pystysuoraa. Tältä näyttää esimerkiksi funktion $y=\frac{x-1}{x-2}$ kuvaaja, asymptootit ovat siniset katkoviivalla piirretyt suorat x = 2 ja y = 1:

Lausekkeeseen kuuluu vielä kaksi ehtoa, c ≠ 0 ja ad − bc ≠ 0. Jos olisi c = 0, nimittäjässä ei olisi lainkaan x:ää ja saataisiin tavallinen lineaarinen funktio. Kun ad − bc = 0, osoittaja on puolestaan nimittäjän monikerta, murtoluku supistuu ja jäljelle jää vakiofunktio.

Funktio k jaettuna x:llä

Aloitetaan funktiosta $y=\frac{k}{x}$. x:n paikalle ei saa sijoittaa nollaa, koska nollalla ei voi jakaa, ja funktion f määrittelyjoukko on siksi ℝ ∖ {0}. Nollaa ei myöskään koskaan saada tulokseksi, sillä murtoluku, jonka osoittaja ei ole nolla, ei voi olla nolla. Siksi myös f:n arvojoukko on ℝ ∖ {0}.

Sijoitetaan muutama luku funktioon $y=\frac{2}{x}$. Kun x = 1, saadaan y = 2, kun x = 2, saadaan y = 1, ja kun x = 4, saadaan enää $y=\frac{1}{2}$. Mitä suurempi x on, sitä tiiviimmin kuvaaja painautuu x-akselia vasten koskaan koskettamatta sitä. Päinvastoin, mitä lähempänä nollaa x on, sitä suurempi y saadaan: kun $x=\frac{1}{10}$, saadaan y = 20. Kuvaaja siis ampaisee ylöspäin pitkin y-akselia. Negatiivisilla x:n arvoilla käy samoin, vain vastakkaisella merkillä.

Kuvan punainen käyrä kuuluu funktiolle $y=\frac{2}{x}$, sininen funktiolle $y=-\frac{2}{x}$. Oranssit pisteet vastaavat arvoja, jotka juuri laskettiin. Haarojen sijainnin ratkaisee luvun k merkki:

• kun k>0, hyperbelin haarat ovat ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä,
• kun k<0, ne ovat toisessa ja neljännessä neljänneksessä.

Akseleita x ja y, joita kohti kuvaaja lähestyy, sanotaan asymptooteiksi.

Nyt on kuitenkin syytä varoa ansaa, johon lähes kaikki lankeavat. Funktiohan $y=\frac{2}{x}$ on aidosti vähenevä, eikö niin? Jokainen punainen haara erikseen todella laskee. Kokeillaan kuitenkin arvoja x₁ = −1 ja x₂ = 1. Pätee x₁<x₂, ja silti f(−1) = −2 on pienempi kuin f(1) = 2. Funktio ei siis ole aidosti vähenevä koko määrittelyjoukossaan, vaan se on aidosti vähenevä erikseen välillä ]−∞, 0[ ja erikseen välillä ]0, ∞[. Se, joka kirjoittaa funktion olevan aidosti vähenevä joukossa ℝ ∖ {0}, tekee virheen.

Siirretty kuvaaja ja yleisen muodon muuntaminen

Funktion $y=\frac{k}{x}$ kuvaajaa voi siirtää samalla tavalla kuin paraabelia toisen asteen polynomifunktion yhteydessä. Funktion

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

kuvaaja on sama kuin funktion $y=\frac{k}{x}$, vain m verran oikealle ja n verran ylöspäin siirrettynä. Huomaa merkki: nimittäjässä on x − m, joten $\frac{k}{x-3}$ siirtyy kolme oikealle, ei vasemmalle. Kuvaajan mukana siirtyvät myös asymptootit, joten ne eivät ole enää akseleita vaan suorat x = m ja y = n. Pystysuora asymptootti on siellä, missä nimittäjä on nolla. Kun x lähestyy lukua m, nimittäjä on pikkuruinen ja murtoluku valtava, joten kuvaaja kiitää ylös tai alas. Vaakasuora asymptootti on siellä, mihin funktion arvot lähestyvät, kun x on hyvin kaukana nollasta, sekä positiivisella että negatiivisella puolella. Murtoluku $\frac{k}{x-m}$ on silloin lähes nolla ja jäljelle jää vain n.

Yleistä lauseketta $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ei kuitenkaan yleensä ole valmiina tässä muodossa. Näytetään muuntaminen funktiolle

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Nimittäjässä on x − 1, joten yritetään tehdä sama lauseke myös osoittajaan. Lausekkeen x − 1 kaksinkertainen on 2x − 2, ja jotta osoittajaksi saataisiin 2x + 1, täytyy vielä lisätä kolme:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Sijoitetaan murtolukuun:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Jaetaan murtoluku kahden murtoluvun summaksi:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Ensimmäisessä murtoluvussa supistetaan x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Samaan tulokseen pääsee myös polynomien jakolaskulla: jakolaskun (2x + 1):(x − 1) osamäärä on 2 ja jakojäännös 3. Tuloksesta voi helposti lukea m = 1, n = 2 ja k = 3. Asymptootit ovat suorat x = 1 ja y = 2. Koska k on positiivinen, haarat ovat asymptootteihin nähden oikealla ylhäällä ja vasemmalla alhaalla, kuten funktiolla $y=\frac{2}{x}$.

Määrittelyjoukon tunnistaa nimittäjästä, joka ei saa olla nolla, eli x ≠ 1. Arvoa 2 funktio taas ei saa, koska murtoluku $\frac{3}{x-1}$ ei voi olla nolla. Funktion f määrittelyjoukko on siis ℝ ∖ {1} ja arvojoukko on ℝ ∖ {2}.

Jäljellä ovat leikkauspisteet akselien kanssa. Leikkauspisteessä x-akselin kanssa y = 0, ja murtoluku on nolla vain silloin, kun osoittaja on nolla:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Leikkauspiste y-akselin kanssa löytyy sijoittamalla x:n paikalle nolla:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä $(-\frac{1}{2},0)$ ja y-akselin pisteessä (0, −1). Molemmat leikkauspisteet ovat kuvassa oransseina, asymptootit harmaina katkoviivoina:

Huomaa, että y-akselin leikkauspiste saadaan myös sievennetystä muodosta: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Täsmää.