Funcția omografică

Funcția omografică este o funcție care are atât la numărător, cât și la numitor o funcție de gradul întâi:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Cea mai simplă funcție omografică este $y=\frac{k}{x}$. Poate o cunoști din școala generală ca mărimi invers proporționale din regula de trei simplă. De la Ploiești la Câmpina sunt aproximativ 30 de kilometri. Dacă mergi cu 30 km/h, ajungi acolo într-o oră, cu 60 km/h într-o jumătate de oră, iar pe bicicletă, cu 15 km/h, ajungi în două ore. Viteza de două ori mai mare, timpul de două ori mai mic. Durata drumului în ore este deci

$$t=\frac{30}{v},$$

unde v este viteza în kilometri pe oră. Iar aceasta este chiar funcția $y=\frac{k}{x}$ cu k = 30.

Graficul funcției omografice este o hiperbolă, și anume echilateră, adică având asimptotele perpendiculare între ele. Spre deosebire de figurile din articolul respectiv, aici este rotită astfel încât nu se apropie de două drepte oblice care se intersectează, ci de o dreaptă orizontală și una verticală. Așa arată, de exemplu, graficul funcției $y=\frac{x-1}{x-2}$, asimptotele fiind dreptele albastre punctate x = 2 și y = 1:

Formulei i se mai adaugă două condiții: c ≠ 0 și ad − bc ≠ 0. Dacă ar fi c = 0, la numitor nu ar fi niciun x și am obține o simplă funcție de gradul întâi. Pentru ad − bc = 0, numărătorul este un multiplu al numitorului, fracția se simplifică și rămâne o funcție constantă.

Funcția k pe x

Începem cu funcția $y=\frac{k}{x}$. În locul lui x nu avem voie să punem zero, pentru că nu putem împărți la zero, iar domeniul de definiție este de aceea D_f = ℝ ∖ {0}. Dar nici zero nu vom obține niciodată ca rezultat: o fracție cu numărătorul nenul nu poate fi egală cu zero. De aceea și imaginea funcției este Im f = ℝ ∖ {0}.

Să încercăm să înlocuim câteva numere în funcția $y=\frac{2}{x}$. Pentru x = 1 obținem y = 2, pentru x = 2 avem y = 1, iar pentru x = 4 doar $y=\frac{1}{2}$. Cu cât x este mai mare, cu atât graficul se lipește mai strâns de axa Ox, fără să o atingă vreodată. Invers, cu cât x este mai aproape de zero, cu atât obținem un y mai mare: pentru $x=\frac{1}{10}$ obținem y = 20. Graficul țâșnește deci în sus de-a lungul axei Oy. Pentru x negativ este la fel, doar cu semn opus.

Curba roșie din figură aparține funcției $y=\frac{2}{x}$, cea albastră funcției $y=-\frac{2}{x}$. Punctele portocalii corespund valorilor pe care tocmai le-am calculat. Poziția ramurilor depinde de semnul numărului k:

• pentru k>0, ramurile hiperbolei se află în cadranele I și III,
• pentru k<0, se află în cadranele II și IV.

Axele Ox și Oy, de care se apropie graficul, se numesc asimptote.

Acum atenție la o capcană în care cade aproape oricine. Funcția $y=\frac{2}{x}$ este descrescătoare, nu? Fiecare ramură roșie în parte chiar descrește. Dar să încercăm cu x₁ = −1 și x₂ = 1. Avem x₁<x₂, și totuși f(−1) = −2 este mai mic decât f(1) = 2. Funcția nu este deci descrescătoare pe întreg domeniul D_f, ci este descrescătoare separat pe intervalul (−∞, 0) și separat pe intervalul (0, +∞). Cine scrie că este descrescătoare pe ℝ ∖ {0} greșește.

Graficul translatat și aducerea formei generale la forma redusă

Graficul funcției $y=\frac{k}{x}$ îl putem transla la fel ca parabola la funcția de gradul al doilea. Funcția

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

are același grafic ca $y=\frac{k}{x}$, doar translatat cu m la dreapta și cu n în sus. Atenție la semn: la numitor este x − m, deci $\frac{k}{x-3}$ se translatează cu trei la dreapta, nu la stânga. Odată cu graficul se translatează și asimptotele, așa că nu mai sunt axele, ci dreptele x = m și y = n. Asimptota verticală se află acolo unde la numitor este zero. Când x se apropie de numărul m, numitorul este foarte mic, iar fracția uriașă, așa că graficul se duce în sus sau în jos. Asimptota orizontală se află la nivelul de care se apropie valorile funcției când x este foarte departe de zero, atât în partea pozitivă, cât și în cea negativă. Fracția $\frac{k}{x-m}$ este atunci aproape zero și rămâne doar n.

De obicei însă nu avem funcția în această formă, ci în forma generală $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Vom arăta cum se aduce la forma redusă funcția

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

La numitor avem x − 1, așa că vom încerca să obținem aceeași expresie și la numărător. Dublul lui x − 1 este 2x − 2, iar ca să obținem numărătorul 2x + 1, trebuie să mai adunăm trei:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Înlocuim în fracție:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Descompunem fracția într-o sumă de două:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

În prima fracție simplificăm x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

La același rezultat poți ajunge și prin împărțirea polinoamelor: (2x + 1):(x − 1) dă 2 rest 3. Din rezultat citim ușor m = 1, n = 2 și k = 3. Asimptotele sunt dreptele x = 1 și y = 2. Deoarece k este pozitiv, ramurile se află față de asimptote în dreapta sus și în stânga jos, asemănător cu $y=\frac{2}{x}$.

Domeniul de definiție îl aflăm din numitor, care nu poate fi zero, adică x ≠ 1. Valoarea 2, în schimb, funcția nu o ia niciodată, pentru că fracția $\frac{3}{x-1}$ nu poate fi egală cu zero:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Rămân intersecțiile cu axele. În punctul de intersecție cu axa Ox avem y = 0, iar o fracție este egală cu zero doar atunci când numărătorul este zero:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Intersecția cu axa Oy o aflăm înlocuind pe x cu zero:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Graficul intersectează axa Ox în punctul $(-\frac{1}{2},0)$ și axa Oy în punctul (0, −1). Ambele puncte de intersecție sunt portocalii în figură, asimptotele gri întrerupte:

Observă că intersecția cu axa Oy a ieșit și din forma redusă: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Se verifică.