Rangen til en matrise

Rangen til en matrise er et tall som angir antallet uavhengige rader eller kolonner i matrisen.

Definisjon

Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rader/kolonner i matrisen. Nullmatrisen har rang null, og enhver annen matrise har rang minst én. En matrise av typen m × n kan ha en rang på høyst min(m, n). Altså, hvis matrisen har færre rader enn kolonner, er rangen til matrisen høyst lik antall rader. På samme måte for kolonner.

Rangen til en matrise skrives vanligvis med ordet «rang». Vi skriver da rang(A) = x.

Hvordan regne ut rangen

Nå om hvordan rangen til en matrise regnes ut. Det er ganske enkelt. Du må bringe matrisen på en slik form at det allerede er tydelig å se hvilke rader som er lineært uavhengige. Det gjøres oftest ved å bringe matrisen på trappeform (bare nuller under diagonalen), og så ser du hvordan det står til med matrisen. Rett på et eksempel — vi har denne matrisen:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Og vi skal finne rangen. Nå må vi huske én liten ting. Hvis vi har to rader som er fulle av tall som er forskjellige fra null, kan de teoretisk sett være lineært avhengige. Vi måtte regne for å finne ut av det. Men hvis den ene av radene har en null på en plass, mens den andre raden ikke har null på samme plass, kan vi med sikkerhet si at de ikke er avhengige. Vi finner nemlig ikke noe tall som vi kunne multiplisere nullen (og dermed hele raden) med for å få det samme tallet der som står i den andre raden. Derfor prøver vi alltid å bringe matriser på trappeform, for å få disse nullene dit.

Det foregående avsnittet kan vi skrive slik. Hvis α₁, α₂ ≠ 0, så:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Derfor prøver vi å få matrisen på en lignende form, slik at vi enkelt ser avhengighetene. Se på eksempelet:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Dette er en matrise på trappeform, og ingen rader er lineært avhengige. Du kan ikke uttrykke den tredje raden ved hjelp av de to første, for hvis du har koeffisienter alfa som ikke er null, blir det alltid et tall som ikke er null igjen på de første plassene.

Framgangsmåten er vanligvis slik: først får vi nuller i den første kolonnen (unntatt i den første raden). Deretter fortsetter vi å bearbeide matrisen slik at vi får nuller i den andre kolonnen, så den tredje osv. osv. osv. til vi til slutt har trappeform. Vi teller radene som ikke er null, og se der, vi har rangen til matrisen. Vi kan bruke disse operasjonene uten at rangen til matrisen endres:

• Bytte om to vilkårlige rader.
• Multiplisere en rad med et vilkårlig tall som ikke er null.
• Legge en rad til en annen.
• Alle de foregående operasjonene kan også brukes på kolonner.

Eksempel

I den foregående matrisen utfører vi operasjonene slik: Vi ser på forholdet mellom elementene a₁₁ og a₂₁. Vi ser at de er like, så for å få null på plassen a₂₁ må vi legge til −1 ganger den første raden. Vi legger −1 ganger den første raden til den andre raden (eller trekker den første raden fra den andre raden):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Nå har vi null der vi ville ha den. Nå må vi også få null på plassen a₃₁. Der står det igjen en ener, så vi trekker bare fra den første raden:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Nå har vi nuller i den første kolonnen, så vi tar fatt på den andre kolonnen med godt mot. Vi ser at tallene a₂₂ og a₃₂ er motsatte, så det er nok å addere radene:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Og vi fikk en nullrad der. Operasjonene er ferdige, vi har kommet til trappeform. Nå teller vi bare radene som ikke er null, og har rangen. Den er lik rang A = 2. Denne matrisen hadde rang to.

Et andre eksempel

Nå prøver vi å regne ut rangen til en litt større matrise:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rader, så vi kan tillate oss å stokke om på radene i matrisen som vi vil. Her ville det for eksempel passe å ha raden med en ener i begynnelsen øverst, så det blir lettere å regne. Vi kan altså uten frykt bytte om den første og den andre raden:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Nå går vi fram på samme måte som i det foregående eksempelet. Vi må ha bare nuller i den første kolonnen (selvfølgelig unntatt i den første raden), så vi legger −7 ganger den første raden til den andre raden, −4 ganger til den tredje og −2 ganger til den siste. Den første raden forblir uendret:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Igjen bytter vi om rader, denne gangen bør vi få den siste raden i stedet for den andre raden, på grunn av tallet to på den andre plassen. Vi bytter den andre og den fjerde raden:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Men vi ser at under tallet to har vi tallene −17 og −19. Ingen av disse tallene er delelige med to, noe som er litt uheldig, nesten ergerlig. Derfor multipliserer vi nå den tredje og den fjerde raden med to:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Nå kan vi fortsette med operasjonene og prøve å nulle ut den andre kolonnen. Til den tredje raden legger vi 17 ganger den andre raden, og til den fjerde 19 ganger:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Så, nå har vi fått ganske uhåndterlige tall for den neste operasjonen, men vi klarer oss på en eller annen måte. Vi dividerer den tredje raden med −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Og nå multipliserer vi den tredje raden med 60 og legger den til den fjerde raden:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Det ble riktignok et stygt tall, men det er ikke null. Matrisen har altså rang fire, og den inneholder ingen lineært avhengig rad.

Eksempel med parameter

Hva er rangen til matrisen A avhengig av parameteren q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Dette er en litt vanskeligere oppgave, for her har vi en parameter q. Vi må finne ut for hvilke verdier av q matrisen har maksimal rang, hvis noen, og for hvilke den har lavere rang. Vi går fram på vanlig måte, bare at vi av og til regner med den abstrakte q i stedet for konkrete verdier. I det første trinnet flytter vi parameteren q til et finere sted, nærmere bestemt helt nede til høyre. Vi bytter altså den andre raden med den tredje og deretter den første kolonnen med den siste:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Nå har vi fått parameteren på et passende sted der den ikke vil være til så stor hinder. I den første kolonnen har vi imidlertid ganske uhåndterlige tall, men midt i matrisen har vi en ener: vi flytter den øverst til venstre, altså bytter vi den første og den andre raden og den første og den andre kolonnen:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Nå har vi fått en fin matrise. Vi multipliserer den første raden med −8 og legger den til den andre raden:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Vi multipliserer den første raden med −5 og legger den til den tredje raden:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Fint, den første kolonnen har vi slik vi trenger den. Nå legger vi −1 ganger den andre raden til den tredje:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Og nå er vi ferdige med operasjonene på matrisen. Vi ser at den første og den andre raden sikkert er lineært uavhengige. Men den tredje raden kan være lineært avhengig. Raden er lineært avhengig hvis den er helt null, altså hvis vi velger parameteren q slik at uttrykket q + 11 er lik null. Det gjelder åpenbart at hvis q = −11, så er raden null og raden er dermed lineært avhengig.

Så den endelige konklusjonen: for q = −11 har matrisen rang to, ellers har den rang tre.