✖

Matrisens rang

Matrisens rang är ett tal som anger antalet oberoende rader eller kolumner i matrisen.

Definition

Rangen hos en matris är det största antalet linjärt oberoende rader eller kolumner i matrisen. Nollmatrisen har rang noll, varje annan matris har rang minst ett. En matris av typen m × n kan ha en rang på högst min(m, n). Om matrisen har färre rader än kolumner är alltså rangen högst lika med antalet rader. På motsvarande sätt för kolumner.

Matrisens rang betecknas vanligen med förkortningen ”rang”. Vi skriver då rang(A) = x.

Så beräknar du rangen

Nu till hur matrisens rang beräknas. Det är ganska enkelt. Du måste föra matrisen till en form där det tydligt syns vilka rader som är linjärt oberoende. Oftast gör man det genom att föra matrisen till trappstegsform (bara nollor under diagonalen), och då syns det direkt hur det ligger till med matrisen. Fort som attan till ett exempel — vi har den här matrisen:

(12111−1133)

Vi ska bestämma dess rang. Först måste vi komma ihåg en liten detalj. Om vi har två rader som är fulla av tal skilda från noll kan de i teorin vara linjärt beroende. Då måste vi räkna efter. Men om en av raderna har en nolla på någon plats där den andra raden inte har en nolla, kan vi med säkerhet säga att de inte är beroende. Vi hittar nämligen inget tal som vi kan multiplicera nollan (och därmed hela raden) med för att få samma tal som står i den andra raden. Därför försöker vi alltid föra matriserna till trappstegsform, så att vi får dit de nollorna.

Det förra stycket kan vi skriva så här. Om α1, α2 ≠ 0 gäller:

α1(123)+α2(023)≠(0ab)

Därför försöker vi få matrisen till en liknande form, så att vi enkelt ser beroendena. Titta på ett exempel:

(4−51072003)

Det här är en matris i trappstegsform och inga rader är linjärt beroende. Du kan inte uttrycka den tredje raden med hjälp av de två första, eftersom du, om koefficienterna alfa inte är noll, alltid får kvar något tal skilt från noll på de första platserna.

Tillvägagångssättet brukar vara så här: först får vi nollor i den första kolumnen (utom i den första raden). Sedan fortsätter vi att omforma matrisen så att vi får nollor i den andra kolumnen, sedan i den tredje osv. osv. osv. tills vi till slut har trappstegsform. Vi räknar raderna som inte är nollrader och vips har vi matrisens rang. Vi får använda de här operationerna utan att ändra rangen:

  • Byta plats på två godtyckliga rader.
  • Multiplicera en rad med ett godtyckligt uttryck som inte är noll.
  • Addera en rad till en annan.
  • Alla de här operationerna kan också användas på kolumner.

Exempel

I vår förra matris gör vi operationerna så här. Vi tittar på sambandet mellan elementen a11 och a21. Vi ser att de är lika, så för att få en nolla på plats a21 måste vi addera −1 gånger rad 1. Vi adderar −1 gånger rad 1 till rad 2 (eller med andra ord subtraherar rad 1 från rad 2):

(1210−1−2133)

Nu har vi en nolla där vi ville ha den. Vi måste också få en nolla på plats a31. Där står också en etta, så vi subtraherar bara rad 1:

(1210−1−2012)

Nu har vi nollor i den första kolumnen, så vi tar oss med glädje an den andra kolumnen. Vi ser att talen a22 och a32 är motsatta, så det räcker att addera raderna:

(1210−1−2000)

Nu fick vi en nollrad. Operationerna är klara, vi har kommit till trappstegsform. Nu räknar vi bara raderna som inte är nollrader och har rangen. Den är rang A = 2. Den här matrisen hade alltså rang två.

Andra exemplet

Nu försöker vi beräkna rangen hos en något större matris:

(7251135−74−5102810−9)

Matrisens rang är det största antalet linjärt oberoende rader, så vi kan tillåta oss att ändra ordningen på raderna hur vi vill. Här vore det till exempel bra att ha raden som börjar med en etta allra överst, så att det blir lättare att räkna. Vi kan alltså utan oro byta plats på rad 1 och rad 2:

(135−772514−5102810−9)

Nu går vi till väga på samma sätt som i det förra exemplet. Vi måste ha bara nollor i den första kolumnen (förstås utom i den första raden), så vi adderar −7 gånger rad 1 till rad 2, −4 gånger rad 1 till rad 3 och −2 gånger rad 1 till den sista raden. Rad 1 förblir oförändrad:

(135−70−19−30500−17−19280205)

Vi byter plats på rader igen, den här gången ska den sista raden komma i stället för den andra, på grund av tvåan på andra platsen. Vi byter plats på rad 2 och rad 4:

(135−702050−17−19280−19−3050)

Men vi ser att under tvåan står talen −17 och −19. Inget av dem är delbart med två, vilket är obekvämt, till och med lite otrevligt. Därför multiplicerar vi nu rad 3 och rad 4 med två:

(135−702050−34−38560−38−60100)

Nu kan vi fortsätta med operationerna i vårt försök att nollställa den andra kolumnen. Vi adderar 17 gånger rad 2 till rad 3 och 19 gånger rad 2 till rad 4:

(135−7020500−3814100−60195)

Nu fick vi ganska obekväma tal för nästa operation, men vi klarar oss på något sätt. Vi dividerar rad 3 med −38:

(135−70205001−141/3800−60195)

Nu multiplicerar vi rad 3 med 60 och adderar till rad 4:

(135−70205001−141/38000195−60⋅14138)∼(135−70205001−141/38000−52519)

Det blev visserligen ett fult tal, men det är skilt från noll. Matrisen har alltså rang fyra och innehåller ingen linjärt beroende rad.

Exempel med parameter

Vilken rang har matrisen A beroende på parametern q?

A=(1817q58413)

Det här är en lite svårare uppgift, eftersom vi har parametern q. Vi måste ta reda på för vilka värden på q matrisen har maximal rang, om alls, och för vilka den har lägre rang. Vi går till väga på vanligt sätt, men räknar ibland med det abstrakta q i stället för med konkreta värden. I första steget flyttar vi parametern q till ett trevligare ställe, nämligen längst ned till höger. Vi byter alltså plats på rad 2 och rad 3 och därefter på kolumn 1 och sista kolumnen:

(1817q58413)∼(1817413q58)∼(178131485q)

Nu har vi fått parametern på ett lämpligt ställe där den inte stör så mycket. I den första kolumnen har vi dock ganska obekväma tal, men mitt i matrisen har vi en etta. Vi flyttar den längst upp till vänster, dvs. vi byter plats på rad 1 och rad 2 och på kolumn 1 och kolumn 2:

(178131485q)∼(314178185q)∼(134817158q)

Nu blev det en fin matris. Vi multiplicerar rad 1 med −8 och adderar till rad 2:

(134817158q)∼(1340−7−3158q)

Vi multiplicerar rad 1 med −5 och adderar till rad 3:

(1340−7−3158q)∼(1340−7−310−7q−20)

Bra, den första kolumnen är som vi vill ha den. Nu adderar vi −1 gånger rad 2 till rad 3:

(1340−7−310−7q−20)∼(1340−7−3100q+11)

Nu är vi klara med radoperationerna. Vi ser att rad 1 och rad 2 definitivt är linjärt oberoende. Rad 3 kan däremot vara linjärt beroende. Raden är linjärt beroende om den består enbart av nollor, dvs. om vi väljer parametern q så att uttrycket q + 11 är lika med noll. Uppenbarligen gäller att om q = −11 är raden en nollrad och därmed linjärt beroende.

Det slutliga svaret blir alltså: för q = −11 har matrisen rang två, annars har den rang tre.