Matrixens rang

Matrixens rang er det tal, som angiver antallet af uafhængige rækker eller søjler i matricen.

Definition

Rangen af en matrix er det maksimale antal lineært uafhængige rækker/søjler i matricen. Nulmatricen har rang nul, enhver anden matrix har rang mindst én. En matrix af typen m × n kan højst have rangen min(m, n). Hvis matricen altså har færre rækker end søjler, så er matrixens rang højst lig med antallet af rækker. På samme måde for søjler.

Matrixens rang betegner vi sædvanligvis med det engelske ord »rank«. Vi skriver så rank(A) = x.

Sådan beregner du rangen

Nu til, hvordan matrixens rang beregnes. Det er ret enkelt. Du skal omforme matricen til en sådan form, hvor det allerede tydeligt kan ses, hvilke rækker der er lineært uafhængige. Det gøres oftest ved at omforme matricen til trappeform (under diagonalen kun nuller), og så kan man allerede se, hvordan det står til med matricen. Hurtigt til et eksempel — vi har denne matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Og vi skal finde dens rang. Nu må vi gøre os en lille detalje klar. Hvis vi har to rækker, der er fulde af tal forskellige fra nul, kan de teoretisk være lineært afhængige. Det skulle vi så regne efter. Men hvis en af disse rækker har et nul et sted, mens den anden række ikke har et nul på samme sted, kan vi med sikkerhed påstå, at de ikke er afhængige. Vi kan nemlig ikke finde noget tal, som vi kunne gange nullet (og dermed hele rækken) med, så vi får det samme tal der, som står i den anden række. Derfor vil vi altid forsøge at omforme matricer til trappeform, så vi får disse nuller dertil.

Det foregående afsnit kan vi skrive sådan her. Hvis α₁, α₂ ≠ 0, så:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Derfor forsøger vi at få matricen i en lignende form, så vi enkelt kan se afhængighederne. Se på eksemplet:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Det er en matrix på trappeform, ingen rækker er lineært afhængige. Du kan ikke ved hjælp af de to første rækker udtrykke den tredje, for hvis du har koefficienter alfa, der ikke er nul, så bliver der altid et tal, der ikke er nul, tilbage på de første pladser.

Fremgangsmåden er sædvanligvis denne: først får vi nuller i første søjle (undtagen i første række). Derefter omformer vi matricen videre, så vi får nuller i anden søjle, så tredje osv. osv. osv., til vi til sidst har trappeform. Vi tæller de rækker, der ikke er nul, og så har vi matrixens rang. Vi kan bruge disse operationer uden at ændre matrixens rang:

• Bytte om på to vilkårlige rækker.
• Gange en række med et vilkårligt udtryk, der ikke er nul.
• Lægge en række til en anden.
• Alle de foregående operationer kan også bruges på søjler.

Eksempel

I vores foregående matrix udfører vi operationerne sådan her: Vi ser på, hvad forholdet er mellem elementerne a₁₁ og a₂₁. Vi ser, at de er ens, så for at få nul på pladsen a₂₁ må vi lægge −1 gange første række til. Vi lægger −1 gange første række til anden række (eller med andre ord trækker vi første række fra anden række):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Nu har vi nul der, hvor vi ville have det. Nu mangler vi at få nul på positionen a₃₁. Der er igen et ettal, så vi trækker bare første række fra:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Nu har vi allerede nuller i første søjle, så vi går med liv og lyst i gang med anden søjle. Vi ser, at tallene a₂₂ og a₃₂ er modsatte, så det er nok at lægge rækkerne sammen:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Og vi fik der en nulrække. Operationerne er nu færdige, vi er nået til trappeform. Nu tæller vi bare de rækker, der ikke er nul, og vi har rangen. Den er lig med rank A = 2. Denne matrix havde rang to.

Andet eksempel

Nu prøver vi at beregne rangen af en lidt større matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Matrixens rang er det maksimale antal lineært uafhængige rækker, så vi kan tillade os at rode rundt med rækkerne i matricen, som vi har lyst til. Her ville det for eksempel være praktisk at have rækken med et ettal i begyndelsen allerøverst, så er det lettere for os at regne. Vi kan altså uden bekymring flytte første og anden række om:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Nu går vi frem på samme måde som i det foregående eksempel. Vi skal have kun nuller i første søjle (selvfølgelig undtagen i første række), så til anden række lægger vi −7 gange første række, til tredje −4 gange og til den sidste −2 gange. Første række forbliver uændret:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Igen bytter vi om på rækker, denne gang skulle vi få den sidste række i stedet for anden række på grund af tallet to på anden plads. Vi bytter anden og fjerde række:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Men vi ser, at under tallet to har vi tallene −17 og −19. Ingen af disse tal er deleligt med to, hvilket er lidt uheldigt, ja næsten surt. Derfor ganger vi nu tredje og fjerde række med to:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Nu kan vi fortsætte med operationerne og forsøge at få nul i anden søjle. Til tredje række lægger vi 17 gange anden række og til fjerde 19 gange:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Så, nu har vi fået nogle ret — til yderligere omformning — uheldige tal, men vi klarer os på en eller anden måde. Vi dividerer tredje række med −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Og nu ganger vi tredje række med 60 og lægger til fjerde række:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Vi fik et grimt, men ikke-nul tal. Matricen har altså rang fire, den indeholder ingen lineært afhængig række.

Eksempel med parameter

Hvad er rangen af matricen A afhængigt af parameteren q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Det er en lidt sværere opgave, fordi vi har en parameter q der. Vi må finde ud af, ved hvilke værdier af q matricen har maksimal rang, hvis overhovedet, og ved hvilke den har lavere. Vi går frem klassisk, bare indimellem regner vi i stedet for med konkrete værdier med det abstrakte q. I første skridt flytter vi parameteren q til et pænere sted, nærmere bestemt helt nederst til højre. Vi bytter altså anden række med tredje og derefter første søjle med den sidste:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Nu har vi fået parameteren på et passende sted, hvor den ikke vil genere ret meget. I første søjle har vi dog ret uheldige tal, men helt i midten har vi et ettal: vi flytter det op til venstre, dvs. vi bytter første og anden række og første og anden søjle:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Nu er det blevet en pæn matrix. Vi ganger første række med −8 og lægger til anden række:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Vi ganger første række med −5 og lægger til tredje række:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Fint, første søjle har vi, som vi vil have den. Nu lægger vi −1 gange anden række til tredje:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Og så er vi færdige med omformningerne af matricen. Vi ser, at første og anden række helt sikkert er lineært uafhængige. Tredje række kan dog være lineært afhængig. Rækken er lineært afhængig, hvis den er helt nul, altså hvis vi vælger parameteren q så udtrykket q + 11 er lig med nul. Der gælder åbenbart, at hvis q = −11, så er rækken nul, og rækken er dermed lineært afhængig.

Så den endelige dom: for q = −11 har matricen rang to, ellers har den rang tre.