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Números naturais

Os números naturais são os números mais comuns no nosso dia a dia. São os números inteiros não negativos, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, …

Notação

Os números naturais formam o conjunto dos números inteiros não negativos 0, 1, 2, 3, 4, … Esse conjunto costuma ser representado pela letra N com a primeira perna dupla, assim: ℕ. A letra vem de “naturais”.

No Brasil, o zero é considerado um número natural: ℕ = {0,1,2,3,…}. Quando queremos excluir o zero, colocamos um asterisco: ℕ* = {1,2,3,…}. Em alguns países e livros o zero não faz parte de ℕ, e então você pode encontrar também as notações ℕ0 (com zero) e ℕ+ (sem zero).

Usamos os números naturais principalmente para dizer a quantidade de alguma coisa (“temos três cadeiras em casa”, “no parque há trinta bancos”, …) e para indicar uma ordem (“o primeiro homem na Lua”, “o Canadá é o segundo maior país do mundo”, …).

Propriedades

Os números naturais têm algumas propriedades interessantes:

  1. O conjunto dos números naturais é infinito, mas é enumerável: podemos ordená-los todos em uma sequência.
  • Os números naturais são fechados em relação à adição e à multiplicação. Isso significa que, se somarmos ou multiplicarmos dois números naturais quaisquer, obtemos de novo um número natural.
  • Eles não são fechados em relação à subtração, porque, ao subtrair um número maior de um menor, obtemos um número negativo.
  • Do mesmo modo, também não são fechados em relação à divisão: por exemplo, 7/2 não é um número natural.

Divisão com resto

No capítulo anterior vimos que os números naturais não são fechados em relação à divisão. Mesmo assim, podemos definir a operação de divisão com resto, que você certamente conhece. Se dividirmos 7/2, obtemos 3,5. Se usarmos a divisão com resto, obtemos o quociente 3 e o resto 1. Ou seja, se multiplicarmos 3 · 2 e somarmos o resto, voltamos a obter 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Os números naturais são fechados em relação a essa operação: tanto o quociente quanto o resto pertencem ao conjunto ℕ.

A definição da divisão com resto é esta:

a=bq+r;a,q,r∈N,b∈N∗,r<b

Na definição, dividimos a:b. O número r é o resto da divisão e q é o quociente. O que significam as condições? Estamos trabalhando com os números naturais, incluindo o zero, mas, como não podemos dividir por zero, escolhemos b no conjunto sem o zero.

Por exemplo, para calcular 19:5 teríamos a = 19 e b = 5. A decomposição ficaria assim:

19=5⋅3+4

Ou seja, q = 3 é o quociente e r = 4 é o resto.