Ранг на матрица

Рангът на матрица е число, което представлява броя на независимите редове или стълбове на матрицата.

Определение

Рангът на матрица е максималният брой линейно независими редове/стълбове в матрицата. Нулевата матрица има ранг нула, всяка друга матрица има ранг поне едно. Матрица от тип m × n може да има ранг най-много min(m, n). Тоест ако матрицата има по-малко редове, отколкото стълбове, рангът на матрицата ще е най-много равен на броя на редовете. Подобно е и за стълбовете.

Рангът на матрица обикновено означаваме с английската дума „rank“. Тогава пишем rank(A) = x.

Как се пресмята рангът

Сега как се пресмята рангът на матрица. Доста е просто. Трябва да преобразуваш матрицата във вид, от който вече ясно се вижда кои редове са линейно независими. Това най-често се прави, като матрицата се преобразува в стъпаловиден вид (под диагонала само нули) и после вече се вижда как стоят нещата с матрицата. Хоп, и да видим един пример – имаме тази матрица:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

И трябва да намерим нейния ранг. Сега трябва да обърнем внимание на една дреболия. Ако имаме два реда, пълни с числа, различни от нула, теоретично те могат да са линейно зависими. Би трябвало да го проверим с пресмятане. Ако обаче единият от тези редове има на някое място нула, а другият ред на същото място няма нула, можем със сигурност да твърдим, че не са зависими. Не можем да намерим число, по което да умножим тази нула (а оттам и целия ред), за да получим там същото число, което се намира във втория ред. Затова винаги ще се стремим да преобразуваме матриците в стъпаловиден вид, за да получим тези нули.

Предишния абзац можем да запишем така. Ако α₁, α₂ ≠ 0, то:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Затова се стремим да доведем матрицата до подобен вид, за да виждаме лесно зависимостите. Погледни примера:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Това е матрица в стъпаловиден вид, никой ред не е линейно зависим. Не можеш да изразиш третия ред с помощта на първите два, защото ако имаш ненулеви коефициенти алфа, на първите места винаги ще ти остане някакво ненулево число.

Редът на действията обикновено е такъв: първо получаваме нули в първия стълб (освен в първия ред). После продължаваме да преобразуваме матрицата така, че да получим нули във втория стълб, после в третия и т.н. и т.н. и т.н., докато накрая получим стъпаловиден вид. Преброяваме ненулевите редове и ето, имаме ранга на матрицата. Можем да използваме тези преобразувания, без да променяме ранга на матрицата:

• Размяна на произволни два реда.
• Умножение на ред по произволен ненулев израз.
• Прибавяне на един ред към друг.
• Всички предишни преобразувания могат да се прилагат и към стълбове.

Пример

В предишната ни матрица преобразуванията ще извършим така: Поглеждаме каква е връзката между елементите a₁₁ и a₂₁. Виждаме, че са еднакви, така че за да получим на мястото на a₂₁ нула, трябва да прибавим −1-кратното на първия ред. Прибавяме −1-кратното на първия ред към втория ред (тоест от втория ред изваждаме първия):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Сега имаме нула там, където искахме да я имаме. Остава да получим нула и на позиция a₃₁. Там отново има единица, така че просто изваждаме първия ред:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Вече имаме нули в първия стълб, така че с желание се заемаме с втория стълб. Виждаме, че числата a₂₂ и a₃₂ са противоположни, така че е достатъчно да съберем редовете:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

И получихме един нулев ред. Преобразуванията са готови, стигнахме до стъпаловиден вид. Сега само преброяваме ненулевите редове и имаме ранга. Той е равен на rank A = 2. Тази матрица имаше ранг две.

Втори пример

Сега ще опитаме да пресметнем ранга на малко по-голяма матрица:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Рангът на матрица е максималният брой линейно независими редове, така че можем да си позволим да разместваме редовете в матрицата както ни е угодно. Тук би било удобно да имаме най-отгоре ред с единица в началото, за да ни е по-лесно да смятаме. Можем да разменим без притеснение първия и втория ред:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Сега ще действаме както в предишния пример. Трябва да имаме в първия стълб само нули (разбира се, освен в първия ред), така че към втория ред прибавяме −7-кратното на първия ред, към третия – −4-кратното, а към последния – −2-кратното. Първият ред остава непроменен:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Отново разменяме редове, този път бихме искали да получим последния ред вместо втория ред заради двойката на втората позиция. Разменяме втория и четвъртия ред:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Но виждаме, че под двойката имаме числата −17 и −19. Нито едно от тези числа не се дели на две, което е неудобно, дори досадно. Затова сега умножаваме третия и четвъртия ред по две:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Сега можем да продължим с преобразуванията, като се стремим да анулираме втория стълб. Към третия ред прибавяме 17-кратното на втория ред, а към четвъртия – 19-кратното:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Така, получихме доста неудобни за по-нататъшно преобразуване числа, но някак ще се справим. Делим третия ред на −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

А сега умножаваме третия ред по 60 и прибавяме към четвъртия ред:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Получи се не особено приятно, но ненулево число. Матрицата има ранг четири, не съдържа никакъв линейно зависим ред.

Пример с параметър

Какъв е рангът на матрицата A в зависимост от параметъра q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Това е малко по-сложна задача, защото имаме параметър q. Трябва да установим при какви стойности на q матрицата има максимален ранг, ако изобщо има, и при какви – по-нисък. Ще действаме по обичайния начин, само че понякога вместо с конкретни стойности ще смятаме с абстрактното q. В първата стъпка преместваме параметъра q на по-удобно място, а именно най-долу вдясно. Разменяме втория ред с третия и след това първия стълб с последния:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Сега поставихме параметъра на подходящо място, където няма да пречи много. В първия стълб обаче имаме доста неудобни числа, но точно в средата имаме единица: преместваме я горе вляво, тоест разменяме първия и втория ред и първия и втория стълб:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Сега матрицата е удобна. Умножаваме първия ред по −8 и прибавяме към втория ред:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Умножаваме първия ред по −5 и прибавяме към третия ред:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Добре, първият стълб е както ни трябва. Сега прибавяме −1-кратното на втория ред към третия:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

И стигнахме до края на преобразуванията на матрицата. Виждаме, че първият и вторият ред със сигурност са линейно независими. Линейно зависим обаче може да е третият ред. Редът ще е линейно зависим, ако е целият нулев, тоест ако изберем параметъра q така, че изразът q + 11 да е равен на нула. Очевидно е, че ако q = −11, редът е нулев и следователно линейно зависим.

Така че окончателният извод: за q = −11 матрицата има ранг две, иначе има ранг три.