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Variância

A variância nos diz o quanto os valores do nosso conjunto estatístico estão dispersos.

O que é a variância

Observe a tabela a seguir, que traz as notas finais do boletim de dez alunos escolhidos do 8º ano B. Vamos nos interessar por duas disciplinas, matemática e história.

Nome Matemática História
Pedro 8,5 5,5
Lucas 10 10
Gabriel 8,5 10
Mateus 8,5 10
Júlia 8,5 7
Larissa 10 5,5
Rafael 8,5 4
João 8,5 10
Camila 8,5 8,5
Bruno 7 5,5

Vemos que a maioria dos alunos tem 8,5 em matemática e, de vez em quando, alguém tem 10 ou 7. Já na coluna de história há um caos total: as notas estão espalhadas de 4 a 10 e nenhuma nota predomina de forma clara. As notas de história estão, portanto, mais dispersas que as de matemática.

Quando calculamos a média das notas de matemática, obtemos 8,65. Vemos que a maior parte dos valores fica bem perto desse valor. Já em história a média é 7,6, e a maioria das notas não fica perto desse valor.

Como expressaríamos numericamente essa dispersão?

Como calcular a variância

Vamos transferir os dados da tabela anterior para um gráfico e mostrar apenas as notas de história.

Notas finais de história

No eixo x temos novamente os alunos (desta vez sem os nomes, então vamos supor que 1 = Pedro, 2 = Lucas etc.). No eixo y temos as notas finais. A reta y = 7,6 representa o valor médio.

Calculamos, então, a variância como a média dos quadrados das distâncias até a média. Isso parece misterioso, mas é simples. Podemos imaginar o quadrado de x como a área de um quadrado de lado x. Construímos, então, no nosso gráfico quadrados cujo lado é igual à distância do valor até a média:

Gráfico com os quadrados das distâncias destacados

O gráfico mostra quatro desses quadrados, pois não caberiam todos. Vemos que a Júlia está bem perto da média, por isso o quadrado dela é pequeno. Já o Rafael está longe da média, por isso o quadrado é grande. Se construíssemos todos os quadrados e calculássemos a área média desses quadrados, obteríamos a variância.

Se temos um conjunto de valores X = [x1, …, xN], em que x― é o valor médio, então calculamos a variância, que vamos representar por Var, assim:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Ou, então, usando somatório, assim:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Por que justamente (x1−x―)2? A expressão x1−x― sozinha nos devolveria a distância do ponto x1 até a média. Mais precisamente, deveríamos escrever |x1−x―| (valor absoluto), caso o valor x1 fosse menor que o valor da média. Como queremos saber a área do quadrado, elevamos esse valor ao quadrado.

A variância do nosso conjunto de dados seria, portanto:

Var(História)=110((5,5−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(7−7,6)2+(5,5−7,6)2+(4−7,6)2+(10−7,6)2+(8,5−7,6)2+(5,5−7,6)2)=110⋅50,4=5,04

A variância é 5,04. A variância dos valores com os resultados de matemática seria assim:

Var(Matemática)=110((8,5−8,65)2+(10−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(10−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(7−8,65)2)=110⋅6,525=0,6525

A variância é 0,6525. Vemos que a variância desse conjunto é, como esperado, muito menor.

Como calcular a variância no Excel

No Excel, tanto em português quanto em inglês, existe para isso a função VAR ou, mais precisamente, alguma de suas variantes. Por exemplo, em VAR.P colocamos como argumento a seleção de células.