✖

Διακύμανση

Η διακύμανση μας δείχνει πόσο διεσπαρμένες είναι οι τιμές στο στατιστικό μας σύνολο. Η διακύμανση λέγεται μερικές φορές και διασπορά.

Τι είναι η διακύμανση

Κοίτα τον παρακάτω πίνακα, που δείχνει τους τελικούς βαθμούς στον έλεγχο προόδου δέκα επιλεγμένων μαθητών του τμήματος Β2. Θα μας ενδιαφέρουν δύο μαθήματα, τα μαθηματικά και η ιστορία.

Όνομα Μαθηματικά Ιστορία
Θωμάς 16 11
Μάρκος 19 19
Γιώργος 16 19
Μίλτος 16 19
Ιωάννα 16 13
Ελένη 19 11
Αντρέας 16 8
Λουκάς 16 19
Πηνελόπη 16 16
Γιάννης 13 11

Βλέπουμε ότι οι περισσότεροι μαθητές έχουν στα μαθηματικά 16, κάποιες φορές κάποιος έχει 19 ή 13. Στη στήλη της ιστορίας όμως έχουμε πλήρη αναρχία – οι βαθμοί είναι διεσπαρμένοι από το 19 έως το 8 και κανένας βαθμός δεν υπερτερεί ιδιαίτερα. Οι βαθμοί της ιστορίας είναι λοιπόν πιο διεσπαρμένοι από τους βαθμούς των μαθηματικών.

Όταν υπολογίσουμε τη μέση τιμή των βαθμών στα μαθηματικά, βρίσκουμε 16,3. Βλέπουμε ότι οι περισσότερες τιμές κινούνται αρκετά κοντά σε αυτή την τιμή. Αντίθετα, στην ιστορία η μέση τιμή είναι 14,6 και οι περισσότεροι βαθμοί δεν κινούνται κοντά σε αυτή την τιμή.

Πώς θα εκφράσουμε αριθμητικά αυτή τη διασπορά;

Πώς υπολογίζουμε τη διακύμανση

Τα δεδομένα από τον προηγούμενο πίνακα τα μεταφέρουμε σε γράφημα και εμφανίζουμε μόνο τους βαθμούς της ιστορίας.

Τελικοί βαθμοί στην ιστορία

Στον άξονα x έχουμε πάλι τους μαθητές (αυτή τη φορά χωρίς ονόματα, οπότε ας υποθέσουμε ότι 1 = Θωμάς, 2 = Μάρκος κ.ο.κ.). Στον άξονα y έχουμε τους τελικούς βαθμούς. Η ευθεία y = 14,6 παριστάνει τη μέση τιμή.

Τη διακύμανση την υπολογίζουμε ως τη μέση τιμή των τετραγώνων των αποστάσεων από τη μέση τιμή. Ακούγεται μυστηριώδες, αλλά είναι απλό. Το τετράγωνο του x μπορούμε να το φανταστούμε ως το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά x. Έτσι δημιουργούμε στο γράφημά μας τετράγωνα, που θα έχουν μήκος πλευράς ίσο με την απόσταση της τιμής από τη μέση τιμή:

Γράφημα με σημειωμένα τετράγωνα των αποστάσεων

Στο γράφημα φαίνονται τέσσερα τέτοια τετράγωνα, δεν θα χωρούσαν όλα. Βλέπουμε ότι η Ιωάννα είναι αρκετά κοντά στη μέση τιμή, γι' αυτό το τετράγωνό της είναι μικρό. Ο Αντρέας αντίθετα είναι μακριά από τη μέση τιμή, γι' αυτό το τετράγωνό του είναι μεγάλο. Αν κατασκευάζαμε όλα τα τετράγωνα και υπολογίζαμε το μέσο εμβαδόν αυτών των τετραγώνων, θα παίρναμε τη διακύμανση.

Αν έχουμε ένα σύνολο τιμών X = (x1, …, xN), όπου x¯ είναι η μέση τιμή, τότε τη διακύμανση, ας τη συμβολίσουμε s2, την υπολογίζουμε ως εξής:

s2=1N((x1−x¯)2+(x2−x¯)2+…+(xN−x¯)2)

Ή με άθροισμα ως εξής:

s2=1N∑i=1N(xi−x¯)2

Γιατί ακριβώς (x1−x¯)2; Η ίδια η παράσταση x1−x¯ θα μας έδινε την απόσταση του σημείου x1 από τη μέση τιμή. Ακριβέστερα, θα έπρεπε να γράψουμε |x1−x¯| (απόλυτη τιμή), στην περίπτωση που η τιμή x1 είναι μικρότερη από τη μέση τιμή. Επειδή θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν τετραγώνου, υψώνουμε αυτή την τιμή στο τετράγωνο.

Η διακύμανση του συνόλου δεδομένων μας θα ήταν:

sΙστορία2=110((11−14,6)2+(19−14,6)2+(19−14,6)2+(19−14,6)2+(13−14,6)2+(11−14,6)2+(8−14,6)2+(19−14,6)2+(16−14,6)2+(11−14,6)2)=110⋅164,4=16,44

Η διακύμανση είναι 16,44. Η διακύμανση των τιμών με τους βαθμούς των μαθηματικών θα έμοιαζε έτσι:

sΜαθηματικά2=110((16−16,3)2+(19−16,3)2+(16−16,3)2+(16−16,3)2+(16−16,3)2+(19−16,3)2+(16−16,3)2+(16−16,3)2+(16−16,3)2+(13−16,3)2)=110⋅26,1=2,61

Η διακύμανση είναι 2,61. Βλέπουμε ότι η διακύμανση σε αυτό το σύνολο είναι, όπως αναμενόταν, πολύ μικρότερη.

Πώς υπολογίζουμε τη διακύμανση στο Excel

Στο Excel για αυτό υπάρχει η συνάρτηση VAR ή κάποια παραλλαγή της. Για παράδειγμα στη VAR.P βάζουμε ως όρισμα μια περιοχή κελιών.