✖

Szórásnégyzet

A szórásnégyzet azt mutatja meg, mennyire szóródnak az értékek a statisztikai adathalmazunkban. A szórásnégyzetet néha varianciának is nevezik.

Mi a szórásnégyzet

Nézd meg a következő táblázatot, amely tíz kiválasztott 8. b osztályos tanuló év végi jegyeit mutatja. Két tantárgy érdekel minket: a matematika és a történelem.

Név Matematika Történelem
Tamás 4 2
Márton 5 5
Gergely 4 5
Miklós 4 5
Júlia 4 3
Lilla 5 2
András 4 1
Lukács 4 5
Petra 4 4
János 3 2

Látjuk, hogy a legtöbb tanulónak matematikából négyese van, néha valakinek ötöse vagy hármasa. Ezzel szemben a történelem oszlopában teljes a káosz – a jegyek az egyestől az ötösig szóródnak, és egyik jegy sem uralkodik érezhetően. A történelemjegyek tehát jobban szóródnak, mint a matematikajegyek.

Ha kiszámoljuk a matematikajegyek átlagát, 4,1-et kapunk. Látjuk, hogy az értékek többsége viszonylag közel van ehhez az értékhez. Történelemből ezzel szemben 3,4 az átlag, és a jegyek többsége nincs közel ehhez az értékhez.

Hogyan fejezhetnénk ki számmal ezt a szóródást?

Hogyan számoljuk ki a szórásnégyzetet

Az előző táblázat adatait ábrázoljuk grafikonon, és csak a történelemjegyeket jelenítjük meg.

Történelem év végi jegyei

Az x tengelyen ismét a tanulók szerepelnek (ezúttal név nélkül, tehát tegyük fel, hogy 1 = Tamás, 2 = Márton stb.). Az y tengelyen az év végi jegyek vannak. Az y = 3,4 egyenes az átlagot jelöli.

A szórásnégyzetet az átlagtól mért távolságok négyzeteinek átlagaként számoljuk ki. Ez titokzatosan hangzik, de egyszerű. Az x négyzetét elképzelhetjük egy x oldalhosszúságú négyzet területeként. A grafikonunkban tehát olyan négyzeteket szerkesztünk, amelyeknek az oldala az érték átlagtól mért távolságával egyenlő:

Grafikon a távolságok négyzeteivel

A grafikonon négy ilyen négyzet látható, az összes nem férne el. Látjuk, hogy Júlia elég közel van az átlaghoz, ezért a négyzete kicsi. András ezzel szemben messze van az átlagtól, ezért a négyzete nagy. Ha az összes négyzetet megszerkesztenénk, és kiszámolnánk ezeknek a négyzeteknek az átlagos területét, megkapnánk a szórásnégyzetet.

Ha adott egy X = [x1, …, xN] értékhalmaz, ahol x― az átlagérték, akkor a szórásnégyzetet, jelöljük Var-ral, így számoljuk ki:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Vagy összeggel így:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Miért éppen (x1−x―)2? Maga az x1−x― kifejezés az x1 pont átlagtól mért távolságát adná. Pontosabban az |x1−x―| abszolút értéket kellene írnunk arra az esetre, ha az x1 érték kisebb lenne az átlagnál. Mivel a négyzet területét szeretnénk tudni, ezt az értéket négyzetre emeljük.

Az adathalmazunk szórásnégyzete tehát:

Var(Történelem)=110((2−3,4)2+(5−3,4)2+(5−3,4)2+(5−3,4)2+(3−3,4)2+(2−3,4)2+(1−3,4)2+(5−3,4)2+(4−3,4)2+(2−3,4)2)=110⋅22,4=2,24

A szórásnégyzet (variancia) 2,24. A matematikajegyek szórásnégyzete így nézne ki:

Var(Matematika)=110((4−4,1)2+(5−4,1)2+(4−4,1)2+(4−4,1)2+(4−4,1)2+(5−4,1)2+(4−4,1)2+(4−4,1)2+(4−4,1)2+(3−4,1)2)=110⋅2,9=0,29

A szórásnégyzet (variancia) 0,29. Látjuk, hogy ennél az adathalmaznál a szórásnégyzet – a várakozásnak megfelelően – sokkal kisebb.

Hogyan számoljuk ki a szórásnégyzetet Excelben

A magyar és az angol Excelben erre a VAR függvény szolgál, illetve valamelyik változata. Például a VAR.S függvény (az angolban VAR.P) paraméterébe a cellák kijelölt tartományát írjuk be.