Varianz

Die Varianz gibt uns an, wie stark die Werte in unserem Datensatz gestreut sind. Die Varianz wird manchmal auch mittlere quadratische Abweichung genannt.

Was ist die Varianz

Schau dir die folgende Tabelle an, die die Zeugnisnoten von zehn ausgewählten Schülern der 8b zeigt. Uns interessieren zwei Fächer, Mathematik und Geschichte.

Wir sehen, dass die meisten Schüler in Mathematik eine Zwei haben, manchmal hat jemand eine Eins oder eine Drei. In der Spalte mit Geschichte dagegen herrscht ein ziemliches Chaos – die Noten sind von der Eins bis zur Fünf gestreut, und keine Note überwiegt deutlich. Die Noten in Geschichte sind also stärker gestreut als die Noten in Mathematik.

Wenn wir den Durchschnitt der Mathematiknoten berechnen, erhalten wir 1,9. Wir sehen, dass sich die meisten Werte ziemlich nah an diesem Wert bewegen. In Geschichte dagegen erhalten wir den Durchschnitt 2,6, und die meisten Noten liegen nicht in der Nähe dieses Wertes.

Wie würden wir diese Streuung in Zahlen ausdrücken?

Wie du die Varianz berechnest

Die Daten aus der vorigen Tabelle übertragen wir in ein Diagramm und zeigen nur die Noten aus Geschichte.

Auf der x-Achse haben wir wieder die Schüler (diesmal ohne Namen, nehmen wir also an, dass 1 = Tom, 2 = Martin usw.). Auf der y-Achse haben wir die Zeugnisnoten. Die Gerade y = 2,6 stellt den Mittelwert dar.

Die Varianz berechnen wir dann als Mittelwert der Quadrate der Abstände vom Mittelwert. Das klingt geheimnisvoll, ist aber einfach. Das Quadrat von x können wir uns als Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge x vorstellen. Wir zeichnen also in unser Diagramm Quadrate ein, deren Seitenlänge dem Abstand des Wertes vom Mittelwert entspricht:

Im Diagramm sind vier solche Quadrate dargestellt, nicht alle hätten dort Platz. Wir sehen, dass Jana ziemlich nah am Mittelwert liegt, deshalb ist ihr Quadrat klein. Olaf dagegen ist weit vom Mittelwert entfernt, deshalb ist sein Quadrat groß. Wenn wir alle Quadrate zeichnen und den durchschnittlichen Flächeninhalt dieser Quadrate berechnen würden, erhielten wir die Varianz.

Haben wir einen Datensatz X = [x₁, …, x_N], wobei $\bar{x}$ der Mittelwert ist, dann berechnen wir die Varianz, wir bezeichnen sie mit Var, so:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Oder mithilfe einer Summe so:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Warum gerade $(x_1-\bar{x}{)}^2$? Der Term $x_1-\bar{x}$ allein würde uns den Abstand des Punktes x₁ vom Mittelwert liefern. Genauer müssten wir $|x_1-\bar{x}|$ schreiben (Betrag), falls der Wert x₁ kleiner als der Mittelwert wäre. Weil wir den Flächeninhalt des Quadrats wissen wollen, quadrieren wir diesen Wert.

Die Varianz unseres Datensatzes wäre also:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Geschichte})=\frac{1}{10}((4-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+\\ (1-2,6{)}^2+(3-2,6{)}^2+(4-2,6{)}^2+\\ (5-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+(2-2,6{)}^2+\\ (4-2,6{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

Die Varianz beträgt 2,24. Die Varianz der Werte mit den Mathematiknoten sähe so aus:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Mathematik})=\frac{1}{10}((2-1,9{)}^2+(1-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+\\ (2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+(1-1,9{)}^2+\\ (2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+\\ (3-1,9{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

Die Varianz beträgt 0,29. Wir sehen, dass die Varianz bei diesem Datensatz erwartungsgemäß deutlich kleiner ist.

Wie du die Varianz in Excel berechnest

Im deutschen wie im englischen Excel dient dazu die Funktion VAR bzw. eine ihrer Varianten. Zum Beispiel setzt du bei VAR.P als Parameter den Zellbereich ein.