✖

Variantie

De variantie geeft aan hoe sterk de waarden in onze gegevensverzameling gespreid zijn. De Engelse naam is variance, en daar komt ook de notatie Var vandaan.

Wat is de variantie

Kijk naar de volgende tabel met de rapportcijfers van tien geselecteerde leerlingen uit klas 2b. We kijken naar twee vakken, wiskunde en geschiedenis.

Naam Wiskunde Geschiedenis
Daan 8,5 5,5
Sem 10 10
Lucas 8,5 10
Bram 8,5 10
Emma 8,5 7
Julia 10 5,5
Milan 8,5 4
Finn 8,5 10
Sophie 8,5 8,5
Thijs 7 5,5

We zien dat de meeste leerlingen voor wiskunde een 8,5 hebben, af en toe heeft iemand een 10 of een 7. In de kolom met geschiedenis is het daarentegen een complete chaos — de cijfers lopen uiteen van een 4 tot een 10 en geen enkel cijfer overheerst duidelijk. De cijfers voor geschiedenis zijn dus sterker gespreid dan de cijfers voor wiskunde.

Als we het gemiddelde cijfer voor wiskunde uitrekenen, krijgen we 8,65. We zien dat de meeste waarden vrij dicht bij dit getal liggen. Bij geschiedenis krijgen we daarentegen een gemiddelde van 7,6 en de meeste cijfers liggen niet in de buurt van dit getal.

Hoe zouden we deze spreiding in een getal kunnen uitdrukken?

De variantie berekenen

De gegevens uit de vorige tabel zetten we om in een grafiek en we laten alleen de cijfers voor geschiedenis zien.

Rapportcijfers voor geschiedenis

Op de x-as staan weer de leerlingen (dit keer zonder namen, dus stel dat 1 = Daan, 2 = Sem enzovoort). Op de y-as staan de rapportcijfers. De lijn y = 7,6 stelt de gemiddelde waarde voor.

De variantie berekenen we dan als het gemiddelde van de kwadraten van de afstanden tot het gemiddelde. Dat klinkt geheimzinnig, maar het is eenvoudig. Het kwadraat van x kunnen we ons voorstellen als de oppervlakte van een vierkant met zijde x. In onze grafiek maken we dus vierkanten waarvan de zijde gelijk is aan de afstand van de waarde tot het gemiddelde:

Grafiek met de vierkanten van de afstanden

In de grafiek zijn vier van zulke vierkanten getekend, ze zouden er niet allemaal in passen. We zien dat Emma vrij dicht bij het gemiddelde zit, daarom is haar vierkant klein. Milan zit daarentegen ver van het gemiddelde, daarom is het vierkant groot. Als we alle vierkanten zouden tekenen en de gemiddelde oppervlakte van die vierkanten zouden uitrekenen, zouden we de variantie krijgen.

Als we een verzameling waarden X = [x1, …, xN] hebben, waarbij x― de gemiddelde waarde is, dan berekenen we de variantie, die we Var noemen, zo:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Of met een som, zo:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Waarom juist (x1−x―)2? De uitdrukking x1−x― alleen zou ons de afstand van het punt x1 tot het gemiddelde geven. Preciezer zouden we |x1−x―| (absolute waarde) moeten opschrijven, voor het geval de waarde x1 kleiner is dan het gemiddelde. Omdat we de oppervlakte van het vierkant willen weten, kwadrateren we deze waarde.

De variantie van onze gegevens is dan:

Var(Geschiedenis)=110((5,5−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(7−7,6)2+(5,5−7,6)2+(4−7,6)2+(10−7,6)2+(8,5−7,6)2+(5,5−7,6)2)=110⋅50,4=5,04

De variantie is 5,04. De variantie van de waarden met de resultaten voor wiskunde zou er zo uitzien:

Var(Wiskunde)=110((8,5−8,65)2+(10−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(10−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(8,5−8,65)2+(7−8,65)2)=110⋅6,525=0,6525

De variantie is 0,6525. We zien dat de variantie bij deze gegevens, zoals verwacht, veel kleiner is.

De variantie berekenen in Excel

In het Nederlandse en het Engelse Excel dient hiervoor de functie VAR.P of een andere variant ervan, bijvoorbeeld VAR.S. Als argument vul je een bereik van cellen in.