✖

Varianssi

Varianssi kertoo, kuinka hajallaan tilastoaineistomme arvot ovat.

Mikä on varianssi

Katso seuraavaa taulukkoa, jossa on kymmenen valitun oppilaan todistusarvosanat luokalta 8B. Meitä kiinnostavat kaksi oppiainetta, matematiikka ja historia.

Nimi Matematiikka Historia
Eino 9 5
Elias 10 10
Leevi 9 10
Onni 9 10
Aino 9 8
Helmi 10 5
Mikko 9 4
Juho 9 10
Venla 9 9
Pekka 8 5

Näemme, että useimmilla oppilailla on matematiikasta yhdeksän, silloin tällöin jollakulla on kymppi tai kasi. Historian sarakkeessa taas vallitsee täysi sekasorto — arvosanat ovat hajallaan neloselta kympille, eikä mikään arvosana ole selvästi muita yleisempi. Historian arvosanat ovat siis hajanaisempia kuin matematiikan arvosanat.

Kun lasketaan matematiikan arvosanojen keskiarvo, saadaan 9,1. Näemme, että useimmat arvot ovat melko lähellä tätä lukua. Historiassa taas keskiarvoksi tulee 7,6, eivätkä useimmat arvosanat ole lähellä sitä.

Miten ilmaisisimme tämän hajonnan luvulla?

Varianssin laskeminen

Muutetaan edellisen taulukon tiedot kuvaajaksi ja esitetään vain historian arvosanat.

Historian todistusarvosanat

x-akselilla ovat jälleen oppilaat (tällä kertaa ilman nimiä, joten oletetaan, että 1 = Eino, 2 = Elias ja niin edelleen). y-akselilla ovat arvosanat. Suora y = 7,6 esittää keskiarvoa.

Varianssi lasketaan keskiarvosta mitattujen etäisyyksien neliöiden keskiarvona. Se kuulostaa salaperäiseltä, mutta on yksinkertaista. Luvun x neliön voi kuvitella sellaisen neliön pinta-alana, jonka sivun pituus on x. Piirretään kuvaajaamme neliöt, joiden sivun pituus on yhtä suuri kuin arvon etäisyys keskiarvosta:

Kuvaaja, johon on merkitty etäisyyksien neliöt

Kuvaajassa on esitetty neljä tällaista neliötä, kaikki eivät mahtuisi siihen. Näemme, että Aino on melko lähellä keskiarvoa, joten hänen neliönsä on pieni. Mikko taas on kaukana keskiarvosta, joten hänen neliönsä on suuri. Jos piirtäisimme kaikki neliöt ja laskisimme näiden neliöiden pinta-alojen keskiarvon, saisimme varianssin.

Jos meillä on arvojoukko X = [x1, …, xN], jossa x― on keskiarvo, varianssi, jota merkitsemme Var, lasketaan näin:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Tai summamerkinnällä näin:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Miksi juuri (x1−x―)2? Pelkkä lauseke x1−x― antaisi pisteen x1 etäisyyden keskiarvosta. Tarkemmin meidän pitäisi kirjoittaa |x1−x―| (itseisarvo), jos arvo x1 olisi keskiarvoa pienempi. Koska haluamme tietää neliön pinta-alan, korotamme tämän arvon toiseen potenssiin.

Aineistomme varianssi olisi siis:

Var(Historia)=110((5−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(10−7,6)2+(8−7,6)2+(5−7,6)2+(4−7,6)2+(10−7,6)2+(9−7,6)2+(5−7,6)2)=110⋅58,4=5,84

Varianssi on 5,84. Matematiikan arvosanojen varianssi olisi seuraava:

Var(Matematiikka)=110((9−9,1)2+(10−9,1)2+(9−9,1)2+(9−9,1)2+(9−9,1)2+(10−9,1)2+(9−9,1)2+(9−9,1)2+(9−9,1)2+(8−9,1)2)=110⋅2,9=0,29

Varianssi on 0,29. Näemme, että tämän aineiston varianssi on odotetusti paljon pienempi.

Varianssin laskeminen Excelissä

Suomenkielisessä Excelissä siihen on funktio VAR.P (englanninkielisessä Excelissä sama nimi) tai jokin sen variantti, esimerkiksi VAR.S. Parametriksi annamme valitun solualueen.