Varianza

La varianza nos indica cuán dispersos están los valores de nuestro conjunto de datos.

Qué es la varianza

Fíjate en la siguiente tabla, que recoge las puntuaciones finales del boletín de diez alumnos seleccionados de 2.º B de ESO (puntuaciones de 1 a 5, donde 5 es la mejor). Nos interesarán dos asignaturas, matemáticas e historia.

Vemos que la mayoría de los alumnos tiene un 4 en matemáticas y de vez en cuando alguien tiene un 5 o un 3. En cambio, en la columna de historia tenemos un caos: las puntuaciones están dispersas del 1 al 5 y ninguna predomina claramente. Las puntuaciones de historia están, pues, más dispersas que las de matemáticas.

Si calculamos la media de las puntuaciones de matemáticas, obtenemos 4,1. Vemos que la mayoría de los valores se mueve bastante cerca de este valor. En cambio, en historia la media es 3,4 y la mayoría de las puntuaciones no se mueve cerca de este valor.

¿Cómo expresaríamos numéricamente esta dispersión?

Cómo calcular la varianza

Pasamos los datos de la tabla anterior a un gráfico y mostramos solo las puntuaciones de historia.

En el eje x tenemos de nuevo a los alumnos (esta vez sin nombres, así que supongamos que 1 = Tomás, 2 = Martín, etc.). En el eje y tenemos las puntuaciones finales. La recta y = 3,4 representa el valor medio.

La varianza se calcula entonces como la media de los cuadrados de las distancias a la media. Suena misterioso, pero es sencillo. El cuadrado de x podemos imaginarlo como el área de un cuadrado de lado x. Creamos así en nuestro gráfico cuadrados cuyo lado es igual a la distancia del valor a la media:

En el gráfico se muestran cuatro de esos cuadrados; no cabrían todos. Vemos que Juana está bastante cerca de la media, por eso su cuadrado es pequeño. En cambio, Andrés está lejos de la media, por eso el cuadrado es grande. Si construyéramos todos los cuadrados y calculáramos el área media de estos cuadrados, obtendríamos la varianza.

Si tenemos un conjunto de valores X = (x₁, …, x_N), donde $\bar{x}$ es la media, entonces la varianza, que denotamos Var, se calcula así:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

O, con un sumatorio, así:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

¿Por qué precisamente $(x_1-\bar{x}{)}^2$? La expresión $x_1-\bar{x}$ por sí sola nos daría la distancia del punto x₁ a la media. Más exactamente, deberíamos escribir $|x_1-\bar{x}|$ (valor absoluto) en el caso de que el valor x₁ fuera menor que la media. Como queremos conocer el área del cuadrado, elevamos este valor al cuadrado.

La varianza de nuestro conjunto de datos sería así:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Historia})=\frac{1}{10}((2-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+\\ (5-3,4{)}^2+(3-3,4{)}^2+(2-3,4{)}^2+\\ (1-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(4-3,4{)}^2+\\ (2-3,4{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

La varianza es 2,24. La varianza de los valores con las puntuaciones de matemáticas sería así:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Matemáticas})=\frac{1}{10}((4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (3-4,1{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

La varianza es 0,29. Vemos que la varianza de este conjunto es, como esperábamos, mucho menor.

Cómo calcular la varianza en Excel

En Excel sirve para ello la función VAR (en inglés también VAR) o alguna de sus variantes. Por ejemplo, a VAR.P le damos como argumento el rango de celdas.