Variance

La variance nous indique à quel point les valeurs de notre série statistique sont dispersées.

Qu’est-ce que la variance

Regarde le tableau suivant, qui donne les notes sur 20 du bulletin de dix élèves choisis dans la 4ᵉ B. Deux matières nous intéressent, les mathématiques et l’histoire.

On voit que la plupart des élèves ont 15 en mathématiques, et que certains ont parfois 18 ou 12. Alors que dans la colonne d’histoire, c’est le chaos : les notes sont dispersées de 6 à 18 et aucune note ne domine nettement. Les notes d’histoire sont donc plus dispersées que celles de mathématiques.

Si on calcule la note moyenne en mathématiques, on trouve 15,3. On voit que la plupart des valeurs sont assez proches de cette valeur. En histoire, en revanche, la moyenne est de 13,2 et la plupart des notes ne sont pas proches de cette valeur.

Comment exprimer cette dispersion par un nombre ?

Comment calculer la variance

On reporte les données du tableau précédent dans un graphique et on n’affiche que les notes d’histoire.

Sur l’axe des x, on a de nouveau les élèves (cette fois sans les prénoms, donc supposons que 1 = Hugo, 2 = Lucas, etc.). Sur l’axe des y, on a les notes finales. La droite y = 13,2 représente la valeur moyenne.

On calcule alors la variance comme la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Ça paraît mystérieux, mais c’est simple. On peut imaginer le carré de x comme l’aire d’un carré de côté x. On construit donc dans notre graphique des carrés dont le côté est égal à l’écart entre la valeur et la moyenne :

Le graphique montre quatre de ces carrés, ils ne tiendraient pas tous. On voit que Léa est assez proche de la moyenne, donc son carré est petit. Théo, en revanche, est loin de la moyenne, donc son carré est grand. Si on construisait tous les carrés et qu’on calculait l’aire moyenne de ces carrés, on obtiendrait la variance.

Si on a une série de valeurs X = (x₁ ; … ; x_N), où $\bar{x}$ est la valeur moyenne, alors la variance, notons-la V, se calcule ainsi :

$$V(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Ou, avec une somme, ainsi :

$$V(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Pourquoi justement $(x_1-\bar{x}{)}^2$ ? L’expression $x_1-\bar{x}$ seule nous donnerait la distance du point x₁ à la moyenne. Pour être précis, on devrait écrire $|x_1-\bar{x}|$ (valeur absolue), au cas où la valeur x₁ serait inférieure à la moyenne. Comme on veut connaître l’aire d’un carré, on élève cette valeur au carré.

La variance de notre série de données serait donc :

$$\begin{array}{r}V(\text{Histoire})=\frac{1}{10}((9-13,2{)}^2+(18-13,2{)}^2+(18-13,2{)}^2+\\ (18-13,2{)}^2+(12-13,2{)}^2+(9-13,2{)}^2+\\ (6-13,2{)}^2+(18-13,2{)}^2+(15-13,2{)}^2+\\ (9-13,2{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 201,6=20,16\end{array}$$

La variance vaut 20,16. Celle des valeurs des notes de mathématiques se calculerait ainsi :

$$\begin{array}{r}V(\text{Mathématiques})=\frac{1}{10}((15-15,3{)}^2+(18-15,3{)}^2+(15-15,3{)}^2+\\ (15-15,3{)}^2+(15-15,3{)}^2+(18-15,3{)}^2+\\ (15-15,3{)}^2+(15-15,3{)}^2+(15-15,3{)}^2+\\ (12-15,3{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 26,1=2,61\end{array}$$

La variance vaut 2,61. On voit que la variance de cette série est, comme prévu, beaucoup plus petite.

Comment calculer la variance dans Excel

Dans Excel, on utilise pour cela la fonction VAR.P.N (VAR.P en anglais), ou l’une de ses variantes. On prend comme argument une plage de cellules.