Dispersia

Dispersia ne arată cât de împrăștiate sunt valorile din populația noastră statistică. Dispersiei i se mai spune și varianță.

Ce este dispersia

Uită-te la tabelul următor, care cuprinde notele finale din catalog ale zece elevi dintr-a opta B. Ne interesează două materii, matematica și istoria. (În școala cehă, nota 1 este cea mai bună, iar 5 cea mai slabă.)

Vedem că majoritatea elevilor au la matematică nota 2, din când în când câte cineva are 1 sau 3. În coloana de istorie, în schimb, e un adevărat haos – notele sunt împrăștiate de la 1 la 5 și nicio notă nu predomină clar. Notele la istorie sunt deci mai împrăștiate decât cele la matematică.

Dacă calculăm media notelor la matematică, obținem 1,9. Vedem că majoritatea valorilor se află destul de aproape de această valoare. La istorie, în schimb, media este 2,6 și majoritatea notelor nu se află aproape de ea.

Cum am putea exprima numeric această împrăștiere?

Cum se calculează dispersia

Mutăm datele din tabelul precedent într-un grafic și afișăm doar notele la istorie.

Pe axa Ox avem din nou elevii (de data aceasta fără nume, așa că presupunem că 1 = Tudor, 2 = Marin etc.). Pe axa Oy avem notele finale. Dreapta y = 2,6 reprezintă valoarea medie.

Dispersia o calculăm apoi ca media pătratelor distanțelor față de medie. Sună misterios, dar este simplu. Pătratul lui x ni-l putem închipui ca aria unui pătrat cu latura x. Construim astfel în grafic pătrate a căror latură este egală cu distanța de la valoare la medie:

În grafic sunt desenate patru astfel de pătrate, nu ar încăpea toate. Vedem că Ioana este destul de aproape de medie, de aceea pătratul ei este mic. Andrei, în schimb, este departe de medie, de aceea pătratul lui este mare. Dacă am construi toate pătratele și am calcula aria medie a acestor pătrate, am obține dispersia.

Dacă avem un set de valori X = {x₁, x₂, …, x_N}, în care $\bar{x}$ este valoarea medie, atunci dispersia, pe care o notăm σ², se calculează astfel:

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Sau cu ajutorul sumei, astfel:

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

De ce tocmai $(x_1-\bar{x}{)}^2$? Expresia $x_1-\bar{x}$ singură ne-ar da distanța punctului x₁ de la medie. Mai exact, ar trebui să scriem $|x_1-\bar{x}|$ (valoarea absolută), pentru cazul în care x₁ ar fi mai mică decât media. Pentru că vrem să cunoaștem aria pătratului, ridicăm această valoare la pătrat.

Dispersia setului nostru de date ar fi deci:

$$\begin{array}{r}{\sigma }_{\text{Istorie}}^2=\frac{1}{10}((4-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+\\ (1-2,6{)}^2+(3-2,6{)}^2+(4-2,6{)}^2+\\ (5-2,6{)}^2+(1-2,6{)}^2+(2-2,6{)}^2+\\ (4-2,6{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

Dispersia (varianța) este 2,24. Dispersia notelor la matematică ar arăta astfel:

$$\begin{array}{r}{\sigma }_{\text{Matematică}}^2=\frac{1}{10}((2-1,9{)}^2+(1-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+\\ (2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+(1-1,9{)}^2+\\ (2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+(2-1,9{)}^2+\\ (3-1,9{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

Dispersia (varianța) este 0,29. Vedem că dispersia în acest set este, așa cum ne așteptam, mult mai mică.

Cum calculezi dispersia în Excel

În Excel se folosește pentru aceasta funcția VAR.P sau una dintre variantele ei. Ca argument introducem zona de celule selectată.