Varianza

La varianza ci dice quanto sono dispersi i valori del nostro insieme di dati.

Che cos’è la varianza

Osserva la tabella seguente, che riporta i punteggi finali di dieci alunni scelti della 3ª B della scuola media (punteggi da 1 a 5, dove 5 è il migliore). Ci interesseranno due materie, matematica e storia.

Vediamo che la maggior parte degli alunni ha 4 in matematica, ogni tanto qualcuno ha 5 o 3. Nella colonna di storia, invece, c’è il caos: i punteggi sono sparsi dall’1 al 5 e nessuno prevale in modo netto. I punteggi di storia sono quindi più dispersi di quelli di matematica.

Se calcoliamo la media dei punteggi di matematica, otteniamo 4,1. Vediamo che la maggior parte dei valori si trova abbastanza vicino a questo valore. In storia, invece, la media è 3,4 e la maggior parte dei punteggi non è vicina a questo valore.

Come potremmo esprimere numericamente questa dispersione?

Come calcolare la varianza

Riportiamo in un grafico i dati della tabella precedente e mostriamo solo i punteggi di storia.

Sull’asse x abbiamo di nuovo gli alunni (questa volta senza nomi, quindi supponiamo che 1 = Tommaso, 2 = Martino ecc.). Sull’asse y abbiamo i punteggi finali. La retta y = 3,4 rappresenta il valore medio.

La varianza si calcola allora come media dei quadrati delle distanze dalla media. Suona misterioso, ma è semplice. Il quadrato di x possiamo immaginarlo come l’area di un quadrato di lato x. Costruiamo così nel nostro grafico dei quadrati il cui lato è uguale alla distanza del valore dalla media:

Nel grafico sono rappresentati quattro di questi quadrati, non ci starebbero tutti. Vediamo che Giulia è abbastanza vicina alla media, perciò il suo quadrato è piccolo. Andrea, invece, è lontano dalla media, perciò il quadrato è grande. Se costruissimo tutti i quadrati e calcolassimo l’area media di questi quadrati, otterremmo la varianza.

Se abbiamo un insieme di valori X = (x₁, …, x_N), dove $\bar{x}$ è la media, la varianza, che indichiamo con Var, si calcola così:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Oppure con una sommatoria così:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Perché proprio $(x_1-\bar{x}{)}^2$? L’espressione $x_1-\bar{x}$ da sola ci darebbe la distanza del punto x₁ dalla media. Più precisamente, dovremmo scrivere $|x_1-\bar{x}|$ (valore assoluto) nel caso in cui il valore x₁ fosse minore della media. Poiché vogliamo conoscere l’area del quadrato, eleviamo questo valore al quadrato.

La varianza del nostro insieme di dati sarebbe quindi:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Storia})=\frac{1}{10}((2-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+\\ (5-3,4{)}^2+(3-3,4{)}^2+(2-3,4{)}^2+\\ (1-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(4-3,4{)}^2+\\ (2-3,4{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

La varianza è 2,24. La varianza dei punteggi di matematica sarebbe invece:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Matematica})=\frac{1}{10}((4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (3-4,1{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

La varianza è 0,29. Vediamo che la varianza di questo insieme è, come previsto, molto più piccola.

Come calcolare la varianza in Excel

In Excel si usa la funzione VAR.P (con lo stesso nome anche nella versione inglese) o una delle sue varianti, per esempio VAR.C (in inglese VAR.S). Come argomento si indica l’intervallo di celle.