✖

Varians

Variansen forteller oss hvor mye verdiene i det statistiske datamaterialet vårt er spredt.

Hva er varians

Se på følgende tabell, som viser standpunktkarakterene til ti utvalgte elever i klasse 8B. Vi er interessert i to fag, matematikk og historie.

Navn Matematikk Historie
Tobias 5 3
Martin 6 6
Jonas 5 6
Magnus 5 6
Ingrid 5 4
Linnea 6 3
Olav 5 1
Lukas 5 6
Nora 5 5
Jakob 4 3

Vi ser at de fleste elevene har 5 i matematikk, og av og til har noen 6 eller 4. I kolonnen med historie er det derimot totalt kaos. Karakterene er spredt fra 1 til 6, og ingen karakter dominerer tydelig. Karakterene i historie er altså mer spredt enn karakterene i matematikk.

Når vi regner ut gjennomsnittskarakteren i matematikk, får vi 5,1. Vi ser at de fleste elementene ligger ganske nær denne verdien. I historie får vi derimot gjennomsnittet 4,3, og de fleste karakterene ligger ikke i nærheten av denne verdien.

Hvordan kan vi uttrykke denne spredningen med et tall?

Slik regner du ut variansen

Dataene fra den forrige tabellen fører vi over i en graf, og vi viser bare karakterene i historie.

Standpunktkarakterer i historie

På x-aksen har vi igjen elevene (denne gangen uten navn, så vi antar at 1 = Tobias, 2 = Martin og så videre). På y-aksen har vi standpunktkarakterene. Linjen y = 4,3 viser gjennomsnittsverdien.

Variansen regner vi så ut som gjennomsnittet av kvadratene av avstandene fra gjennomsnittet. Det høres mystisk ut, men det er enkelt. Kvadratet av x kan vi tenke på som arealet av et kvadrat med side x. Vi lager altså kvadrater i grafen vår, og de har sidelengde lik avstanden mellom verdien og gjennomsnittet:

Graf med kvadrater som viser avstandene

I grafen er det vist fire slike kvadrater, alle ville ikke fått plass. Vi ser at Ingrid ligger ganske nær gjennomsnittet, derfor er kvadratet hennes lite. Olav derimot ligger langt fra gjennomsnittet, derfor er kvadratet stort. Hvis vi konstruerte alle kvadratene og regnet ut gjennomsnittsarealet av disse kvadratene, ville vi fått variansen.

Hvis vi har et sett med verdier X = [x1, …, xN], der x― er gjennomsnittsverdien, regner vi ut variansen, som vi betegner Var, slik:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Eller med sumtegn slik:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Hvorfor akkurat (x1−x―)2? Selve uttrykket x1−x― ville gitt oss avstanden mellom punktet x1 og gjennomsnittet. Mer nøyaktig burde vi skrive |x1−x―| (absoluttverdi) i tilfellet der verdien x1 er mindre enn gjennomsnittet. Fordi vi vil kjenne arealet av kvadratet, opphøyer vi denne verdien i andre potens.

Variansen til datasettet vårt blir derfor:

Var(Historie)=110((3−4,3)2+(6−4,3)2+(6−4,3)2+(6−4,3)2+(4−4,3)2+(3−4,3)2+(1−4,3)2+(6−4,3)2+(5−4,3)2+(3−4,3)2)=110⋅28,1=2,81

Variansen er 2,81. Variansen til verdiene med resultatene fra matematikk ville sett slik ut:

Var(Matematikk)=110((5−5,1)2+(6−5,1)2+(5−5,1)2+(5−5,1)2+(5−5,1)2+(6−5,1)2+(5−5,1)2+(5−5,1)2+(5−5,1)2+(4−5,1)2)=110⋅2,9=0,29

Variansen er 0,29. Vi ser at variansen i dette datasettet, som ventet, er mye mindre.

Slik regner du ut variansen i Excel

I norsk Excel brukes funksjonen VARIANS.P (på engelsk VAR.P) eller en av de andre variantene av den. Som parameter setter vi inn det valgte området av celler.