Графічне зображення комплексних чисел

Комплексні числа можна зображати й у звичайній декартовій системі координат. Площину, на якій зображують комплексні числа, називають комплексною площиною (її також називають площиною Гаусса).

Зображення на комплексній площині

Кожне комплексне число z = x + yi зображується на площині точкою з координатами (x; y). Вісь Ox на комплексній площині називають дійсною віссю, а вісь Oy — уявною віссю. Візьмімо два комплексні числа: z₁ = 2 + 5i і z₂ = 4 − 3i. На комплексній площині ми зобразили б їх так:

Протилежне та спряжене число

На комплексній площині легко відкласти протилежні та спряжені числа. Нехай z = 3 + 5i. Протилежне до z число −3 − 5i симетричне до нього відносно початку координат комплексної площини:

У спряженого числа змінюється знак перед уявною частиною, тож спряжене число й початкове число симетричні відносно дійсної осі (осі Ox). Див. рисунок ($z^\prime$ позначає спряжене число):

Модуль

На множині дійсних чисел модуль — це невід'ємна версія заданого числа. У комплексних числах модуль обчислюється трохи складніше. Модуль комплексного числа — це відстань від точки на комплексній площині до початку координат.

Відстань від початку координат можна обчислити за допомогою теореми Піфагора, яка стверджує, що |z|² = x² + y², де x і y — дійсна й уявна частини комплексного числа. Щоб отримати модуль числа z = x + yi, залишається лише добути корінь:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$