Тригонометрична форма комплексного числа

Не завжди зручно мати комплексне число в алгебраїчній формі, тому вводять ще й тригонометричну форму комплексного числа.

Як можна задати точку на площині?

Ми знаємо, що на геометричному зображенні комплексне число z = x + yi — це точка на комплексній площині. Ця точка має координати (x; y). Як ще, крім переліку координат (x; y), можна задати цю точку z?

Можна обчислити, який кут утворює відрізок, що сполучає точку z з початком координат, з віссю Ox (точніше, з її додатною піввіссю). Тоді ми знатимемо, у якому напрямку від початку координат лежить точка z. А щоб знати, де саме вона лежить, потрібно ще знати відстань до початку координат. За цими двома величинами точку z на комплексній площині вже можна задати однозначно.

Тригонометрична форма

Наступний рисунок підсумовує, що саме потрібно знати, щоб записати комплексне число в тригонометричній формі:

Як видно, потрібно знати довжину відрізка від точки z до початку координат, яка дорівнює модулю числа z — це ми вже вміємо обчислювати. Далі потрібно знати кут $\varphi$ (його називають аргументом комплексного числа). Тригонометрична форма комплексного числа має такий вигляд:

$$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$

Як знайти кут $\varphi$? Скористаємося тригонометричними функціями. Тут є прямокутний трикутник, і ми знаємо довжину гіпотенузи — це модуль числа z. У тригонометричній формі є і синус, і косинус, тож кут $\varphi$ треба виразити через обидві функції. З властивостей тригонометричних функцій при цьому випливає, що:

$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{y}{|z|}\\ \cos\varphi&=&\frac{x}{|z|} \end{eqnarray}$$

З цих формул можна знайти сам кут $\varphi$. Знайти кут необхідно, бо тригонометричну форму ми записуємо разом із синусом і косинусом.

Приклад

Перетвори комплексне число з алгебраїчної форми на тригонометричну: $z=\sqrt{3}+i$. Спершу обчислимо модуль числа z, який дорівнює:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Тепер маємо:

$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{1}{2}\\ \cos\varphi&=&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$$

Далі можна або скористатися калькулятором і обчислити арксинус та арккосинус, або взяти табличні значення основних тригонометричних функцій. Обидва отримані значення є табличними, тож цього разу калькулятор не потрібен.

Якщо $\sin\varphi=\frac12$, то кут $\varphi$ дорівнює або π/6, або 5π/6. Якщо $\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$, то кут $\varphi$ дорівнює або π/6, або 11π/6. Спільним для обох можливостей є кут π/6; підставивши його, отримаємо значення, які ми записали в попередній рівності.

Множення та ділення

Комплексні числа в тригонометричній формі, звісно, можна множити й ділити. За допомогою формул додавання для тригонометричних функцій можна вивести формули для добутку та частки двох комплексних чисел. Нехай задано два комплексні числа z₁ і z₂:

$$\begin{eqnarray} z_1&=&|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\ z_2&=&|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \end{eqnarray}$$

Самі формули виглядають так:

$$\begin{eqnarray} z_1\cdot z_2&=&|z_1|\cdot|z_2|\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\\ \frac{z_1}{z_2}&=&\frac{|z_1|}{|z_2|}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right] \end{eqnarray}$$