Теорема синусів і теорема косинусів

Теорема синусів — це теорема, яка, на відміну від звичайних тригонометричних функцій, виконується в довільному трикутнику. Вона встановлює зв'язок між довжинами сторін і кутами. Теорема косинусів також виконується в довільному трикутнику, а її окремим випадком є теорема Піфагора.

Теорема синусів

Теорема синусів стверджує, що відношення довжини кожної сторони до синуса протилежного їй кута в даному довільному (!) трикутнику стале. Записуємо це так:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,$$

де R — радіус описаного кола, а a, b і c — довжини сторін трикутника. Попередню рівність можна переписати й у такому вигляді:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Теорема косинусів

Теорема косинусів також виконується в довільному трикутнику, так само як і теорема синусів. Теорема косинусів формулюється так:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\ c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$$

Зверни увагу: якщо один із кутів прямий, тобто має величину 90 градусів, то в одній із формул зникне остання частина, і ми отримаємо вигляд теореми Піфагора. Адже якщо $\alpha=90^{\circ}$, то cos(α) = 0, і маємо:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}$$

Мотивація

Нехай маємо трикутник ABC зі стороною c завдовжки |c| = 9. Величини кутів такі: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$. Питання: яких довжин дві інші сторони? Звичайними тригонометричними функціями тут уже не обійтися, бо вони працюють у прямокутному трикутнику, а цей трикутник точно не прямокутний. Малюнок:

Тут нам доведеться піти іншим шляхом. Один із них — якраз теорема синусів. Як її застосувати? Теорема синусів стверджує, що:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Нам відомі всі кути й довжина сторони c. Тому сторону b знайдемо з рівності

$$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Тут потрібно виразити довжину сторони b. Виконаємо рівносильне перетворення рівняння і помножимо рівність на синус кута бета. Отримаємо:

$$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Усі вирази в правій частині нам відомі або ми вміємо їх обчислити. Тож підставимо:

$$|b|=\frac{9\cdot0{,}985}{0{,}866}\approx10{,}23.$$

Точнісінько так само знайдемо й останню сторону a:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Виразимо |a|, помноживши рівність на синус кута альфа.

$$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$

Обчислимо результат:

$$|a|=\frac{9\cdot0{,}642}{0{,}866}\approx6{,}672$$

Доведення теореми синусів

Чому ця рівність із синусами виконується? Погляньмо на довільний трикутник ABC, у якому проведемо ще й висоту до сторони c.

Питання: яку довжину має відрізок CP_c? Завдяки висоті трикутник ABC поділено на два прямокутні трикутники, за допомогою яких можна виразити довжину висоти. Спробуймо виразити довжину відрізка CP_c через обидва трикутники. Синус кута альфа дорівнює:

$$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$

Звідси виразимо |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.$$

Тепер виразимо довжину відрізка CP_c через другий трикутник, за допомогою кута бета:

$$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$

Звідси знову виразимо |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$

Отже, довжину висоти ми виразили двома формулами:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,$$

тож маємо рівність

$$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.$$

Це вже зовсім близько до того, що стверджує теорема синусів. Поділимо всю рівність на синус альфа, помножений на синус бета:

$$\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\ \frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{скоротимо синуси}\\ \frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Попереднім способом ми довели частину теореми синусів, проте доведення для інших комбінацій сторін таке саме.