Як обчислити відсотки за іпотекою

Звичайна іпотека — це кредит, який ми беремо, щоб купити нерухомість, зазвичай будинок або квартиру. Покажімо, як обчислюються відсотки, які тобі доведеться заплатити за іпотекою.

Річні відсотки та місячне нарахування

Кожна іпотека має задану річну відсоткову ставку, яку вказують у відсотках. Тож ти можеш побачити рекламу іпотеки зі ставкою 3 % річних. Це «річних» означає «за рік». Спрощено й неточно кажучи, якщо ти позичиш один мільйон гривень, то за рік заплатиш відсотками 3 %, а це 30 000 гривень.

Насправді ж ти заплатиш не рівно тридцять тисяч, а менше. Адже звичайну іпотеку ти виплачуєш щомісяця, і так само часто банк нараховує відсотки. Замість одних річних відсотків банк обчислює дванадцять місячних. А оскільки ти поступово виплачуєш іпотеку, то винен банку дедалі менше грошей, і тому розмір відсотків теж стає дедалі меншим. Покажімо це на прикладі. Ти позичаєш один мільйон гривень під 3 % річних із платежем 10 000 гривень на місяць. Якими будуть перші відсотки?

Перший платіж

Спершу обчислимо місячну відсоткову ставку. Для цього ділимо річну ставку на дванадцять:

$$\frac{3 \%}{12} = 0{,}25 \%$$

Отже, місячна відсоткова ставка — 0,25 %. За перший місяць ми заплатимо банку 0,25 % від того, що ще винні банку, тобто від одного мільйона гривень. 0,25 % обчислюємо так:

$$1\ 000\ 000\cdot 0{,}25\%=1\ 000\ 000\cdot0{,}0025=2500$$

За перший місяць ми заплатимо банку 2500 гривень відсотків. Оскільки наш місячний платіж становить 10 000 гривень, після першого місяця ми винні банку

$$1\ 000\ 000+2500-10\ 000=992\ 500$$

992 500 гривень. Отже, наш перший платіж складається з 2500 гривень, що пішли на відсотки, і 7500, якими ми погасили свій борг перед банком. Ці 7500 гривень називають погашенням тіла кредиту.

Другий платіж

Як це виглядатиме другого місяця? Місячна відсоткова ставка не змінюється, вона й далі 0,25 %. Але змінюється сума, яку ми винні банку за іпотекою. Цю суму називають тілом кредиту, і після першого місяця вона становить 992 500 гривень. Нові місячні відсотки обчислюємо так само, як і перші, тільки замість одного мільйона рахуємо з 992 500 гривень, тобто обчислюємо 0,25 % від 992 500 гривень:

$$992\ 500\cdot 0{,}25\%=992\ 500\cdot0{,}0025=2481{,}25$$

Другого місяця відсотки становлять лише 2481,25 гривні замість 2500 гривень — адже ми вже погасили частину боргу і маємо менше тіло кредиту. Погашення тіла кредиту дорівнюватиме

$$10\ 000 - 2481{,}25 = 7518{,}75$$

Другого місяця ми погасили більше, ніж першого, і загалом уже винні лише

$$992\ 500-7518{,}75=984\ 981{,}25$$

Наступні платежі…

Наступні платежі обчислюються так само, доки ми не дійдемо до нуля. Третього місяця відсотки обчислимо так:

$$984\ 981{,}25\cdot0{,}25\%=984\ 981{,}25\cdot0{,}0025=2462{,}45$$

Бачимо, що відсотки 2462,45 гривні знову трохи менші, ніж попереднього місяця, а погашення тіла кредиту 7537,55 — знову трохи більше. Кожного наступного місяця відсотки будуть дедалі меншими, бо ми винні банку дедалі менше грошей. А погашення тіла кредиту буде дедалі більшим — з часом ми виплачуємо іпотеку швидше й швидше, адже менше грошей іде на відсотки, а більше — на погашення тіла кредиту.

Можна помітити, що хоча річна ставка становила 3 %, ми не заплатимо 30 000 гривень відсотків. Щоб заплатити 30 000 відсотків, довелося б платити по 2500 гривень відсотків щомісяця. Але ми щомісяця платимо дедалі менше, тож у підсумку заплатимо менше ніж 30 000 гривень відсотків.

Фактично це все, що потрібно знати про те, як обчислюються відсотки за іпотекою. Проте погляньмо ще на кілька цікавих деталей.

Точне обчислення місячних відсотків

На початку ми сказали, що місячні відсотки обчислюємо так:

$$\frac{3 \%}{12} = 0{,}25 \%$$

Так рахують банки, але математично це не зовсім правильно. Банки користуються цим способом радше з історичних причин, бо ділити на дванадцять просто легше, ніж виконувати математично правильну процедуру. Чого ми, власне, хочемо досягти, обчислюючи місячні відсотки? Річні відсотки 3 % від одного мільйона означають, що за рік клієнт заплатив би 30 000 гривень відсотків. Уявімо, що клієнт цілий рік не виплачував би іпотеку, а лише дозволяв би нараховувати відсотки. Якою має бути місячна відсоткова ставка, щоб за дванадцять місяців накопичилося рівно 30 000 гривень відсотків? Адже за формулою «поділити на дванадцять» ми отримаємо більше ніж 30 000 гривень. Перевіримо це:

Спершу покажемо, як просто додавати відсотки до тіла кредиту. Якщо ми обчислили місячну відсоткову ставку як 0,25 %, то підсумкову суму після додавання відсотків отримаємо, помноживши тіло кредиту на число 1,0025:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025=1\ 002\ 500$$

Після двох місяців без платежів тіло кредиту дорівнюватиме

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025\cdot1{,}0025=1\ 005\ 006{,}25$$

Тобто мільйон множимо на число 1,0025 стільки разів, скільки разів хочемо нарахувати відсотки. Щоб спростити, можна скористатися степенями, адже знаємо, що

$$1{,}0025\cdot1{,}0025=1{,}0025^2$$

тож можемо записати

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^2=1\ 005\ 006{,}25$$

Нас цікавить, якою була б сума через 12 місяців:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^{12}=1\ 030\ 416$$

Бачимо, що через 12 місяців тіло кредиту дорівнювало б 1 030 416 гривням, а це на 416 гривень більше, ніж мало б бути. Звісно, різниця не така вже й велика, визнаймо, але правильним цей результат усе одно не є. Як це виправити?

Повернімося до річної відсоткової ставки нашої іпотеки. Якщо ми хочемо дізнатися, яким було б тіло кредиту після застосування річних трьох відсотків, можемо записати це так:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}03=1\ 030\ 000$$

Тепер ми хочемо розкласти число 1,03 на добуток дванадцяти однакових чисел, щоб отримати одиницю плюс місячна відсоткова ставка. Тобто добуток яких дванадцяти однакових чисел дає 1,03? Це корінь дванадцятого степеня з 1,03:

$$1{,}03 = \sqrt[12]{1{,}03}\cdot\sqrt[12]{1{,}03}\cdot\ldots\cdot\sqrt[12]{1{,}03}$$

Можна обчислити, що корінь дванадцятого степеня з 1,03 дорівнює 1,0024662 із чимось, а це справді небагато відрізняється від числа 1,0025, яке ми отримали діленням на дванадцять. Але цей результат правильний: якби наша місячна відсоткова ставка дорівнювала $\sqrt[12]{1,03}-1$, то тіло кредиту після року без платежів зросла б рівно на три відсотки.

Денні та місячні відсотки

Цікаво, що деякі банки обчислюють місячні відсотки за іпотекою дещо інакше. Обчислення місячних відсотків діленням річних на дванадцять має ще один побічний ефект: для всіх місяців ми отримуємо однакову ставку, хоча місяці мають різну тривалість. Лютий і липень отримують однакову ставку. Як із цього вибратися? Деякі банки вирішують це так: ділять річні відсотки на 360, отримуючи денну ставку, а потім множать цю денну ставку на кількість днів у місяці.

Чому ділять на 360, а не на 365 чи 366? Бо це знову ж таки простіше рахувати.