Поступове нарахування відсотків

На практиці банки часто вказують річну відсоткову ставку, але застосовують її помісячно. Як обчислити, яка тоді місячна відсоткова ставка?

Накопичувальний рахунок у банку

Один банк хвалиться, що має один із найкращих накопичувальних рахунків із річними відсотками 2 %. Хоча вказано річну відсоткову ставку, відсотки нараховуються щомісяця, тобто за рік їх нараховують 12 разів. Яка ж місячна відсоткова ставка? Тобто скільки грошей нам нараховуватимуть щомісяця?

Формулу можна вивести зі складних відсотків. Але спершу обчислимо, скільки грошей буде на рахунку рівно через рік. Нехай ми поклали на рахунок 100 000 грн. Тоді за рік матимемо +2 %, а це

$$ 100{,}000 \cdot 1{,}02 = 102{,}000 $$

Через рік на рахунку буде 102 000, ми отримали дві тисячі. Зі формули складних відсотків ми знаємо, що має виконуватися

$$ S_t = S_0\cdot(1+d)^t, $$

де S₀ — початкова сума, d — відсоткова ставка, а t показує, скільки разів ми нараховували відсотки на цю суму. У цій формулі невідомою є саме літера d: ми знаємо лише річну ставку, а шукаємо місячну. Нараховували ми загалом 12 разів, тож t = 12. Водночас ми знаємо, що S_t дорівнює 102 000: через рік ми заощадили 102 000 гривень, це ми вже обчислили з річної відсоткової ставки. Отримуємо рівняння:

$$ 102 000 = 100 000\cdot 1{,}02 = 100 000\cdot(1+d)^{12} $$

Бачимо, що значення (1 + d)¹² має дорівнювати 1,02. Якщо обчислимо корінь дванадцятого степеня з 1,02, то отримаємо саме 1 + d. Корінь дванадцятого степеня наближено дорівнює 1,0016515813. Якщо щомісяця нараховувати відсотки за ставкою 0,0016515813, то загалом отримаємо складні відсотки 0,02 і підсумкову суму 102 000 гривень.