Складні відсотки

Відсотки стають складними тоді, коли їх потрібно нараховувати кілька разів. Якщо в нас є борг, який зростає на відсотки раз на рік, і ми винні п'ять років, відсотки нараховуватимуться п'ять разів — тоді йдеться про складні відсотки.

Складні відсотки

Якщо сума боргу збільшується на відсотки кілька разів, говоримо про складні відсотки. У попередній формулі ми користувалися відсотками, а в наступній буде простіше перетворити відсотки на звичайний десятковий дріб. Для цього достатньо поділити відсотки на сто. Якщо відсоткова ставка була 50 %, отримаємо 0,5, тобто одну другу. Якщо було 7 %, отримаємо число 0,07. Цей десятковий дріб я позначатиму літерою «d». Формула могла б виглядати так:

$$d=\frac{\mbox{відсоткова ставка}}{100}$$

Якщо цим числом помножити суму боргу, ми отримаємо одразу відсотки. Припустімо, що дядько Вік позичив нам два мільйони гривень під 10 % річних. У вигляді десяткового дробу це 0,1. Після першого року відсотки становлять 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Тобто ми заплатимо на 200 000 більше, ніж позичили. Якими будуть відсотки наступного року? Треба взяти початкову суму, додати перші відсотки й знову помножити на 0,1:

$$(2{,}000,000+200{,}000)\cdot0{,}1=220{,}000$$

Ще через рік відсотки становили б уже 220 000, тобто більше, ніж за перший рік.

Якщо ми хочемо отримати одразу суму боргу, а не тільки відсотки, достатньо додати одиницю до відсоткової ставки у вигляді десяткового дробу і помножити цей вираз на суму боргу:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1=2{,}200,000$$

Після першого року ми були б винні 2 200 000. Щоб обчислити суму боргу після трьох років, помножимо на 1,1 кілька разів поспіль:

$$((2{,}000,000\cdot1{,}1)\cdot1{,}1)\cdot1{,}1=2{,}662,000$$

Звідси вже потроху вимальовується формула: у множенні не важливі ні порядок, ні дужки, тому вираз можна переписати так:

$$2{,}000,000\cdot(1{,}1\cdot1{,}1\cdot1{,}1)$$

А це просто запишемо за допомогою степенів:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1^3$$

Звідси вже легко вивести загальну формулу.

Остаточна формула складних відсотків

Ось формула складних відсотків, а далі я її поясню:

$$S_t=S_0\cdot(1+d)^t$$

Літера «S» позначає тіло кредиту, тобто суму боргу. Нижній індекс показує, скільки нарахувань уже відбулося. Символ S₀ тому позначає суму, яка ще не пройшла жодного нарахування, — це сума, яку ми отримали на початку (два мільйони від дядька Віка). Літера «t» позначає кількість нарахувань, які ми хочемо врахувати. Якщо хочемо порахувати на десять років уперед, то t = 10. Символ S_t позначає підсумкову суму боргу після t нарахувань. Літера «d» позначає відсоткову ставку в десятковому записі (див. вище).

Спробуймо обчислити, скільки відсотків ми заплатили б, якби повернули всю суму дядькові Віку лише через 15 років:

$$S_t=S_0\cdot(1+d)^t=2{,}000,000\cdot(1+0{,}1)^{15}=8{,}354,496$$

Зверни увагу: це не самі відсотки, а підсумкова сума боргу. Якщо ми хочемо лише відсотки, треба відняти початкову суму боргу, тобто ще мінус два мільйони: 6 354 496.

Приклад

Павло хотів купити нове авто, але, звісно, грошей на нього не мав, тож позичив пів мільйона, 500 000. Відсоткова ставка була 8 %, і відсотки нараховувалися щороку. Павло багато витрачав, тому за перший рік повернув лише двадцять тисяч, 20 000. Сума боргу зменшилася до 480 000. Але на межі років відбулося нарахування, і відсотки становили 480 000 · 0,08 = 38 400. На Новий рік Павло вже був винен 480 000 + 38 400 = 518 400. Це більше, ніж на початку.

Павла це анітрохи не стурбувало, і він знову повернув лише 20 000. Отже, був винен 498 400. Після нарахування відсотків сума виросла до 538 272. Борг був більший, ніж торік і позаторік. Павло цього не помітив і далі повертав лише 20 000 на рік. Так він платив до кінця життя і все одно залишив після себе багатомільйонний борг. Краще так не робити.

Що почитати далі

Зі складними відсотками тісно пов'язане число Ейлера. Тож обов'язково прочитай, звідки взялося число Ейлера. А складні відсотки знадобляться тобі, якщо захочеш дізнатися, як обчислити відсотки за іпотекою.