Proč se 0,999… rovná 1

Číslo 0,999…, za jehož desetinnou čárkou následuje nekonečně mnoho devítek, se rovná jedné. Ne přibližně, ne „skoro“, ale přesně. Většina lidí tomu napoprvé nevěří a spory o tohle jediné číslo patří k nejčastějším sporům o matematiku na internetu. Ukážeme si několik důkazů a nakonec zjistíme, proč nám intuice pořád našeptává opak.

Jako každé periodické číslo můžeme i tohle zapsat s čárou nad číslicí, která se opakuje:

$$0,\bar{9}=1$$

Přes třetiny

Vyjdeme ze zlomku, který nikomu starosti nedělá. Dělíme-li jedničku třemi, vyjde nám periodické číslo:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Teď vynásobíme třemi obě strany rovnice. Vlevo vyjde

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Vpravo násobíme každou trojku zvlášť. Jelikož 3 · 3 = 9 a žádná jednotka se nepřenáší do vyššího řádu, vyjde

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

Levé strany se rovnají, a proto se musí rovnat i pravé: 1 = 0,999… Kdo bere 0,333… za třetinu, nemůže odmítnout ani tohle.

Přes desetinásobek

Tenhle postup jsme už potkali v článku o racionálních číslech, kde se stejným postupem převádí periodické číslo na zlomek. Označíme si naše číslo a:

$$a=0,\bar{9}$$

Vynásobíme deseti. Čárka se přesune o jedno místo doprava a za ní dál zůstává nekonečně mnoho devítek:

$$10a=9,\bar{9}$$

Od toho odečteme a a všechny devítky za čárkou se vzájemně vyruší:

$$9a=9$$

Zbývá vydělit devíti:

$$a=1$$

Jaký je rozdíl?

Kdyby se 0,999… a 1 lišily, byl by jejich rozdíl nějaké kladné číslo. Zkusme ho vypátrat. Nejdřív vezmeme jen konečný počet devítek:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Každá další devítka zmenší rozdíl desetkrát. Nahoře na obrázku je číselná osa od nuly do jedné s modrým bodem v 0,9 a červeným úsekem, který k jedničce ještě chybí. Každá další osa tento úsek desetkrát zvětší, a proto modré body leží postupně v 0,9, 0,99 a 0,999:

Zvolme libovolně malé kladné číslo, třeba jednu miliardtinu: s dostatečným počtem devítek bude rozdíl ještě menší. V 0,999… jsou ale devítky všechny naráz, nekonečně mnoho, takže rozdíl musí být menší než jakékoli kladné číslo. Jenže žádné kladné číslo není menší než všechna kladná čísla, vždyť by muselo být menší i než svoje vlastní polovina. Rozdíl tedy může být jedině nula.

Častá námitka zní, že rozdíl je 0,000…01, tedy nekonečně mnoho nul a na konci jednička. Jenže nekonečně dlouhá řada nul žádný konec nemá, a tak není kam tu jedničku napsat.

Mezi nimi se nic nevejde

Mezi libovolnými dvěma různými reálnými čísly vždy najdeme další číslo, třeba jejich průměr. Mezi 0,5 a 0,6 leží 0,55, mezi 0,5 a 0,55 zase 0,525. Platí to pro každou dvojici různých čísel, byť sebeblíže u sebe: jejich průměr se mezi ně vždycky vejde.

Které číslo by leželo mezi 0,999… a 1? Muselo by být větší než 0,999… a zároveň menší než jedna, takže by začínalo nulou a čárkou. Aspoň jedna jeho číslice za čárkou by pak musela být větší než devítka, a taková neexistuje. Mezi obě čísla se nevejde nic, takže jsou stejná.

Jako nekonečný součet

Desetinný zápis je ve skutečnosti součet: 0,999… znamená devět desetin plus devět setin plus devět tisícin a tak dál:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Každý sčítanec je desetina předchozího, sčítáme tedy členy geometrické posloupnosti s prvním členem $a_1=\frac{9}{10}$ a kvocientem $q=\frac{1}{10}$. Kvocient je v absolutní hodnotě menší než jedna, a proto má nekonečný součet konečnou hodnotu, kterou spočteme vzorcem

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Dosadíme:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Přesně řečeno, součet nekonečné řady je limita součtů jejích prvních členů, tedy posloupnosti 0,9; 0,99; 0,999; … Ta se blíží k jedné a zápis 0,999… znamená právě tuto limitu. Na tom stojí i předchozí důkazy.

Proč tomu nechceme věřit

Intuice zaměňuje „hodně devítek“ za „nekonečně mnoho devítek“. Číslo 0,999 se třemi devítkami je opravdu menší než jedna, stejně jako číslo s milionem devítek. Vytištěné by zabralo pár set stran, a přesto by mu k jedničce pořád něco chybělo. Jenže $0,\bar{9}$ není hodně devítek, které někde skončí. Nekončí nikdy, a proto mu nic nechybí.

Taky si 0,999… často představujeme jako děj: devítky se pořád připisují a číslo se k jedničce plíží. Číslo se ale nikam nehýbe. Všechny devítky v něm jsou od začátku a hodnota se nemění.

Druhý kámen úrazu spočívá v tom, že by jedno číslo mělo mít dva různé zápisy. Jenže tohle známe i ze zlomků:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

A podobně jako polovinu zapíšeme různými zlomky, existuje pro 0,5 ještě jeden desetinný zápis:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Dva zápisy má každé číslo s konečným desetinným rozvojem kromě nuly, třeba 0,25 = 0,24999… nebo 7 = 6,999… Nejde o dvě čísla, ale o jedno číslo ve dvou převlecích.

Viz také

• Racionální čísla
• Reálná čísla
• Posloupnosti
• Proč nejde dělit nulou