Waarom 0,999… gelijk is aan 1
Het getal 0,999…, met oneindig veel negens achter de komma, is gelijk aan één. Niet bij benadering, niet “bijna”, maar precies. De meeste mensen geloven dat in eerste instantie niet, en discussies over dit ene getal horen tot de meest voorkomende discussies over wiskunde op internet. We laten een aantal bewijzen zien en ontdekken tot slot waarom onze intuïtie ons steeds het tegenovergestelde influistert.
Zoals elk repeterend getal kunnen we ook dit getal schrijven met een streep boven het cijfer dat zich herhaalt:
Met derden
We beginnen met een breuk waar niemand zich zorgen over maakt. Als we één door drie delen, krijgen we een repeterend getal:
Nu vermenigvuldigen we beide kanten van de vergelijking met drie. Links krijgen we
Rechts vermenigvuldigen we elke drie apart. Omdat 3 · 3 = 9 en er geen eenheid wordt overgedragen naar een hogere plaats, krijgen we
De linkerkanten zijn gelijk, dus de rechterkanten moeten ook gelijk zijn: 1 = 0,999… Wie 0,333… als een derde accepteert, kan ook dit niet afwijzen.
Met tien keer het getal
Deze methode kwam al voor in het artikel over rationale getallen, waar we met dezelfde aanpak een repeterend getal omzetten naar een breuk. We noemen ons getal a:
We vermenigvuldigen met tien. De komma schuift één plaats naar rechts en erachter blijven nog steeds oneindig veel negens staan:
Daar trekken we a van af en alle negens achter de komma vallen tegen elkaar weg:
Nu hoeven we alleen nog door negen te delen:
Wat is het verschil?
Als 0,999… en 1 verschillend waren, zou hun verschil een positief getal zijn. Laten we proberen dat te vinden. Eerst nemen we maar een eindig aantal negens:
Elke extra negen maakt het verschil tien keer zo klein. Op de bovenste getallenlijn in de figuur lopen we van nul tot één, met een blauw punt in 0,9 en een rood stuk dat nog ontbreekt tot één. Elke volgende lijn vergroot dit stuk tien keer, en daarom liggen de blauwe punten achtereenvolgens in 0,9, 0,99 en 0,999:
Kies een willekeurig klein positief getal, bijvoorbeeld een miljardste: met genoeg negens wordt het verschil nog kleiner. In 0,999… staan echter alle negens tegelijk, oneindig veel, dus het verschil moet kleiner zijn dan elk positief getal. Maar geen enkel positief getal is kleiner dan alle positieve getallen, want het zou ook kleiner moeten zijn dan zijn eigen helft. Het verschil kan dus alleen nul zijn.
Een veelgehoord bezwaar is dat het verschil 0,000…01 is, dus oneindig veel nullen en aan het eind een één. Maar een oneindig lange rij nullen heeft geen einde, en dus is er geen plek om die één op te schrijven.
Ertussen past niets
Tussen twee verschillende reële getallen vinden we altijd nog een ander getal, bijvoorbeeld hun gemiddelde. Tussen 0,5 en 0,6 ligt 0,55, en tussen 0,5 en 0,55 ligt 0,525. Dat geldt voor elk paar verschillende getallen, hoe dicht ze ook bij elkaar liggen: hun gemiddelde past er altijd tussen.
Welk getal zou tussen 0,999… en 1 liggen? Het zou groter moeten zijn dan 0,999… en tegelijk kleiner dan één, dus het zou beginnen met een nul en een komma. Minstens één van de cijfers achter de komma zou dan groter moeten zijn dan negen, en zo'n cijfer bestaat niet. Tussen de twee getallen past niets, dus ze zijn gelijk.
Als oneindige som
De decimale schrijfwijze is in feite een som: 0,999… betekent negen tienden plus negen honderdsten plus negen duizendsten enzovoort:
Elke term is een tiende van de vorige, dus we tellen de termen van een meetkundige rij op, met eerste term
We vullen in:
Strikt genomen is de som van een oneindige reeks de limiet van de sommen van de eerste termen, dus van de rij 0,9; 0,99; 0,999; … Die nadert tot één, en de schrijfwijze 0,999… betekent precies deze limiet. De vorige bewijzen steunen hier ook op.
Waarom we het niet willen geloven
Onze intuïtie verwart “heel veel negens” met “oneindig veel negens”. Het getal 0,999 met drie negens is echt kleiner dan één, net als het getal met een miljoen negens. Uitgeprint zou het enkele honderden bladzijden beslaan en toch zou er nog steeds iets aan één ontbreken. Maar
We stellen ons 0,999… ook vaak voor als een proces: er komen steeds negens bij en het getal kruipt naar één toe. Het getal beweegt echter nergens heen. Alle negens staan er vanaf het begin in en de waarde verandert niet.
Een tweede struikelblok is dat één getal twee verschillende schrijfwijzen zou hebben. Maar dat kennen we ook van breuken:
En zoals we de helft met verschillende breuken kunnen schrijven, bestaat er voor 0,5 nog een tweede decimale schrijfwijze:
Twee schrijfwijzen heeft elk getal met een eindige decimale ontwikkeling, behalve nul, bijvoorbeeld 0,25 = 0,24999… of 7 = 6,999… Het gaat niet om twee getallen, maar om één getal in twee vermommingen.
