Hvorfor 0,999… er lig med 1
Tallet 0,999…, hvor der efter decimalkommaet følger uendeligt mange niere, er lig med én. Ikke omtrent, ikke »næsten«, men præcist. De fleste mennesker tror ikke på det første gang, og diskussionerne om netop dette ene tal hører til de hyppigste diskussioner om matematik på internettet. Vi viser flere beviser og finder til sidst ud af, hvorfor vores intuition hele tiden hvisker os det modsatte i øret.
Som ethvert periodisk tal kan vi også skrive dette tal med en streg over det ciffer, der gentager sig:
Via tredjedele
Vi tager udgangspunkt i en brøk, som ingen har problemer med. Når vi dividerer én med tre, får vi et periodisk tal:
Nu ganger vi begge sider af ligningen med tre. Til venstre får vi
Til højre ganger vi hvert tretal for sig. Da 3 · 3 = 9, og vi ikke får noget i mente, får vi
De venstre sider er lig med hinanden, og derfor må de højre sider også være det: 1 = 0,999… Den, der accepterer 0,333… som en tredjedel, kan heller ikke afvise dette.
Via det tidobbelte tal
Denne fremgangsmåde har vi allerede mødt i artiklen om rationale tal, hvor et periodisk tal omskrives til en brøk på samme måde. Vi kalder vores tal a:
Vi ganger med ti. Kommaet rykker en plads til højre, og efter det bliver der stadig uendeligt mange niere:
Fra det trækker vi a fra, og alle nierne efter kommaet går ud med hinanden:
Nu mangler vi bare at dividere med ni:
Hvad er forskellen?
Hvis 0,999… og 1 var forskellige, ville deres differens være et positivt tal. Lad os prøve at opspore det. Først tager vi kun et endeligt antal niere:
Hver ny nier gør differensen ti gange mindre. Øverst på figuren er en tallinje fra nul til én med et blåt punkt i 0,9 og et rødt stykke, som der endnu mangler til én. Hver efterfølgende tallinje forstørrer dette stykke ti gange, og derfor ligger de blå punkter efter hinanden i 0,9, 0,99 og 0,999:
Vælg et vilkårligt lille positivt tal, for eksempel en milliardtedel: med nok niere bliver differensen endnu mindre. I 0,999… er alle nierne dog til stede på én gang, uendeligt mange, så differensen må være mindre end ethvert positivt tal. Men intet positivt tal er mindre end alle positive tal, det ville jo også skulle være mindre end sin egen halvdel. Differensen kan derfor kun være nul.
Der fremføres ofte den indvending, at differensen er 0,000…01, altså uendeligt mange nuller og en ener til sidst. Men en uendelig lang række af nuller har ingen ende, og der er derfor ingen plads til at skrive eneren.
Der er ikke plads til noget imellem
Mellem to vilkårlige forskellige reelle tal kan vi altid finde endnu et tal, for eksempel deres gennemsnit. Mellem 0,5 og 0,6 ligger 0,55, mellem 0,5 og 0,55 igen 0,525. Det gælder for hvert par af forskellige tal, hvor tæt på hinanden de end ligger: der er altid plads til deres gennemsnit imellem dem.
Hvilket tal skulle ligge mellem 0,999… og 1? Det skulle være større end 0,999… og samtidig mindre end én, så det ville begynde med nul og komma. Mindst ét af dets cifre efter kommaet skulle så være større end ni, og et sådant findes ikke. Mellem de to tal er der ikke plads til noget, så de er ens.
Som en uendelig sum
Decimalfremstillingen er i virkeligheden en sum: 0,999… betyder ni tiendedele plus ni hundrededele plus ni tusindedele og så fremdeles:
Hvert led er en tiendedel af det foregående, så vi lægger led af en geometrisk talfølge sammen med første led
Vi indsætter:
Helt præcist er summen af en uendelig række grænseværdien af summerne af dens første led, altså af talfølgen 0,9; 0,99; 0,999; … Den nærmer sig én, og skrivemåden 0,999… betyder netop denne grænseværdi. Det er også den, de foregående beviser bygger på.
Hvorfor vil vi ikke tro på det
Intuitionen forveksler »mange niere« med »uendeligt mange niere«. Tallet 0,999 med tre niere er virkelig mindre end én, og det samme er et tal med en million niere. Det ville fylde nogle hundrede sider, hvis det blev trykt, og alligevel ville der stadig mangle noget til én. Men
Vi forestiller os også ofte 0,999… som en proces: der bliver hele tiden skrevet flere niere, og tallet kravler hen mod én. Men tallet bevæger sig ingen steder. Alle nierne er der fra begyndelsen, og værdien ændrer sig ikke.
Det andet stridspunkt er, at ét tal skulle have to forskellige skrivemåder. Men det kender vi også fra brøker:
Og ligesom vi kan skrive en halv med forskellige brøker, findes der for 0,5 endnu en decimalfremstilling:
To skrivemåder har ethvert tal med en endelig decimalfremstilling bortset fra nul, for eksempel 0,25 = 0,24999… eller 7 = 6,999… Det er ikke to tal, men ét tal i to forklædninger.
