Por qué 0,999… es igual a 1
El número 0,999…, que tras la coma decimal tiene infinitos nueves, es igual a uno. No aproximadamente, no «casi», sino exactamente. A la mayoría de la gente le cuesta creerlo la primera vez, y las discusiones sobre este único número están entre las más frecuentes sobre matemáticas en internet. Veremos varias demostraciones y al final descubriremos por qué la intuición se empeña en decirnos lo contrario.
Como cualquier número periódico, también este podemos escribirlo con una barra sobre la cifra que se repite:
Con tercios
Partimos de una fracción que a nadie le da problemas. Si dividimos uno entre tres, obtenemos un número periódico:
Ahora multiplicamos por tres ambos miembros de la igualdad. A la izquierda queda
A la derecha multiplicamos cada tres por separado. Como 3 · 3 = 9 y no nos llevamos nada al orden superior, queda
Los miembros de la izquierda son iguales, y por eso tienen que serlo también los de la derecha: 1 = 0,999… Quien acepta que 0,333… es un tercio tampoco puede rechazar esto.
Con el producto por diez
Este procedimiento ya lo hemos visto en el artículo sobre los números racionales, donde con el mismo método se pasa un número periódico a fracción. Llamamos a a nuestro número:
Multiplicamos por diez. La coma se desplaza un lugar hacia la derecha y detrás de ella siguen quedando infinitos nueves:
Le restamos a y todos los nueves detrás de la coma se cancelan entre sí:
Solo falta dividir entre nueve:
¿Cuál es la diferencia?
Si 0,999… y 1 fueran distintos, su diferencia sería algún número positivo. Intentemos averiguarlo. Primero tomamos solo una cantidad finita de nueves:
Cada nuevo nueve hace la diferencia diez veces menor. En la parte superior de la figura hay una recta numérica de cero a uno con un punto azul en 0,9 y un tramo rojo que aún falta para llegar a uno. Cada recta siguiente amplía ese tramo diez veces, y por eso los puntos azules están sucesivamente en 0,9, 0,99 y 0,999:
Elijamos un número positivo tan pequeño como queramos, por ejemplo una milmillonésima: con suficientes nueves la diferencia será todavía menor. Pero en 0,999… los nueves están todos a la vez, infinitos, así que la diferencia tiene que ser menor que cualquier número positivo. Ahora bien, ningún número positivo es menor que todos los números positivos, pues tendría que ser menor incluso que su propia mitad. Por tanto, la diferencia solo puede ser cero.
Una objeción frecuente es que la diferencia es 0,000…01, es decir, infinitos ceros y al final un uno. Pero una cadena infinita de ceros no tiene final, y por eso no hay dónde escribir ese uno.
Entre ellos no cabe nada
Entre dos números reales distintos cualesquiera siempre encontramos otro número, por ejemplo su media. Entre 0,5 y 0,6 está 0,55, y entre 0,5 y 0,55 está 0,525. Esto vale para cualquier pareja de números distintos, por muy cerca que estén: su media siempre cabe entre ellos.
¿Qué número estaría entre 0,999… y 1? Tendría que ser mayor que 0,999… y a la vez menor que uno, así que empezaría por cero y coma. Al menos una de sus cifras detrás de la coma tendría entonces que ser mayor que nueve, y no existe ninguna cifra así. Entre los dos números no cabe nada, así que son iguales.
Como suma infinita
La expresión decimal es en realidad una suma: 0,999… significa nueve décimas más nueve centésimas más nueve milésimas y así sucesivamente:
Cada sumando es la décima parte del anterior, así que estamos sumando términos de una progresión geométrica con primer término
Sustituimos:
Para ser precisos, la suma de una serie infinita es el límite de las sumas de sus primeros términos, es decir, de la sucesión 0,9; 0,99; 0,999; … Esta se acerca a uno, y la expresión 0,999… significa precisamente ese límite. En esto se apoyan también las demostraciones anteriores.
Por qué no queremos creerlo
La intuición confunde «muchos nueves» con «infinitos nueves». El número 0,999 con tres nueves es de verdad menor que uno, igual que un número con un millón de nueves. Impreso ocuparía unos cientos de páginas y aun así le faltaría algo para llegar a uno. Pero
Además, solemos imaginar 0,999… como un proceso: se van añadiendo nueves y el número avanza poco a poco hacia el uno. Pero el número no se mueve a ninguna parte. Todos los nueves están en él desde el principio y su valor no cambia.
El segundo escollo es que un mismo número tenga dos escrituras distintas. Sin embargo, esto ya lo conocemos de las fracciones:
Y igual que la mitad se escribe con distintas fracciones, para 0,5 existe otra expresión decimal más:
Todo número con expresión decimal finita, salvo el cero, tiene dos escrituras, por ejemplo 0,25 = 0,24999… o 7 = 6,999… No se trata de dos números, sino de un solo número con dos disfraces.
