Miksi 0,999… on yhtä suuri kuin 1

Luku 0,999…, jossa desimaalipilkun jälkeen on äärettömän monta yhdeksikköä, on yhtä suuri kuin yksi. Ei likimain, ei ”melkein”, vaan täsmälleen. Useimmat eivät usko tätä ensi kuulemalta, ja kiistat juuri tästä luvusta kuuluvat internetin yleisimpiin matematiikkariitoihin. Katsomme muutamaa todistusta ja lopuksi selvitämme, miksi intuitio väittää yhä päinvastaista.

Kuten jokainen jaksollinen luku, tämänkin voi kirjoittaa viivalla toistuvan numeron päällä:

$0, \overset{―}{9} = 1$

Kolmasosien avulla

Lähdetään murtoluvusta, joka ei huolestuta ketään. Kun jaamme ykkösen kolmella, saamme jaksollisen luvun:

$\frac{1}{3} = 0,333 \dots$

Nyt kerromme yhtälön molemmat puolet kolmella. Vasemmalle puolelle tulee

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

Oikealla puolella kerromme jokaisen kolmosen erikseen. Koska 3 · 3 = 9 eikä mikään ykkönen siirry seuraavaan paikkaan, saamme

$3 \cdot 0,333 \dots = 0,999 \dots$

Vasemmat puolet ovat yhtä suuret, joten myös oikeiden puolten täytyy olla: 1 = 0,999… Kuka pitää lukua 0,333… kolmasosana, ei voi kieltää tätäkään.

Kymmenellä kertomalla

Tämän menettelyn tapasimme jo artikkelissa rationaaliluvuista, jossa samalla tavalla muutetaan jaksollinen luku murtoluvuksi. Merkitään lukua a:

$a = 0, \overset{―}{9}$

Kerromme kymmenellä. Pilkku siirtyy yhden paikan oikealle, ja sen jälkeen on edelleen äärettömän monta yhdeksikköä:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Vähennämme tästä luvun a, jolloin kaikki pilkun jälkeiset yhdeksiköt kumoavat toisensa:

$9 a = 9$

Jäljelle jää jakaa yhdeksällä:

$a = 1$

Mikä on erotus?

Jos 0,999… ja 1 olisivat eri luvut, niiden erotus olisi jokin positiivinen luku. Yritetään selvittää se. Otetaan ensin vain rajallinen määrä yhdeksikköjä:

$\begin{array}{rcl} 1 - 0, 9 & = & 0, 1 \\ 1 - 0, 99 & = & 0, 01 \\ 1 - 0,999 & = & 0,001 \end{array}$

Jokainen uusi yhdeksikkö pienentää erotuksen kymmenesosaan. Kuvassa ylimpänä on lukusuora nollasta yhteen, ja siinä sininen piste kohdassa 0,9 sekä punainen jana, joka ykköseen vielä puuttuu. Jokainen seuraava lukusuora suurentaa tämän janan kymmenkertaiseksi, ja siksi siniset pisteet ovat peräkkäin kohdissa 0,9, 0,99 ja 0,999:

Pala, joka ykköseen puuttuu luvuilta, joissa on yksi, kaksi ja kolme yhdeksikköä, joka kerta kymmenkertaiseksi suurennettuna

Valitaan mielivaltaisen pieni positiivinen luku, vaikkapa yksi miljardisosa: riittävän monella yhdeksikköllä erotus on sitäkin pienempi. Luvussa 0,999… yhdeksiköt ovat kuitenkin kaikki yhtä aikaa, äärettömän monta, joten erotuksen täytyy olla pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Mikään positiivinen luku ei kuitenkaan ole pienempi kuin kaikki positiiviset luvut, sillä sen täytyisi olla pienempi kuin oma puolikkaansakin. Erotus voi siis olla vain nolla.

Yleinen vastaväite kuuluu, että erotus on 0,000…01, eli äärettömän monta nollaa ja lopussa ykkönen. Äärettömän pitkällä nollien jonolla ei kuitenkaan ole loppua, joten ei ole paikkaa, johon ykkösen voisi kirjoittaa.

Niiden väliin ei mahdu mitään

Minkä tahansa kahden erisuuruisen reaaliluvun väliltä löytyy aina vielä yksi luku, vaikkapa niiden keskiarvo. Lukujen 0,5 ja 0,6 välissä on 0,55 ja lukujen 0,5 ja 0,55 välissä 0,525. Näin on jokaiselle erisuuruisten lukujen parille, vaikka ne olisivat kuinka lähellä toisiaan: niiden keskiarvo mahtuu aina väliin.

Mikä luku olisi lukujen 0,999… ja 1 välissä? Sen täytyisi olla suurempi kuin 0,999… ja samalla pienempi kuin yksi, joten se alkaisi nollalla ja pilkulla. Ainakin yhden sen pilkun jälkeisen numeron pitäisi silloin olla suurempi kuin yhdeksän, eikä sellaista ole. Näiden kahden luvun väliin ei mahdu mitään, joten ne ovat samat.

Äärettömänä summana

Desimaaliesitys on oikeastaan summa: 0,999… tarkoittaa yhdeksää kymmenesosaa plus yhdeksää sadasosaa plus yhdeksää tuhannesosaa ja niin edelleen:

$0,999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

Jokainen yhteenlaskettava on kymmenesosa edellisestä, joten laskemme yhteen geometrisen lukujonon termejä, joiden ensimmäinen termi on $a_{1} = \frac{9}{10}$ ja suhdeluku $q = \frac{1}{10}$ . Suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, ja siksi äärettömällä summalla on äärellinen arvo, jonka laskemme kaavalla

$S = \frac{a_{1}}{1 - q} .$

Sijoitamme:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

Tarkemmin sanottuna äärettömän sarjan summa on sen ensimmäisten termien summien jonon raja-arvo, eli jonon 0,9; 0,99; 0,999; … Se lähestyy ykköstä, ja merkintä 0,999… tarkoittaa juuri tätä raja-arvoa. Myös edelliset todistukset nojaavat siihen.

Miksi emme halua uskoa

Intuitio sekoittaa ”paljon yhdeksikköjä” ja ”äärettömän monta yhdeksikköä”. Luku 0,999, jossa on kolme yhdeksikköä, on todella pienempi kuin yksi, samoin luku, jossa on miljoona yhdeksikköä. Tulostettuna se veisi muutaman sata sivua, ja silti siltä puuttuisi yhä jotakin ykköseen. Luku $0, \overset{―}{9}$ ei kuitenkaan ole paljon yhdeksikköjä, jotka jossakin loppuvat. Ne eivät lopu koskaan, ja siksi siltä ei puutu mitään.

Kuvittelemme usein myös, että 0,999… on tapahtuma: yhdeksiköitä lisätään koko ajan ja luku hiipii kohti ykköstä. Luku ei kuitenkaan liiku mihinkään. Kaikki sen yhdeksiköt ovat siinä alusta asti, eikä sen arvo muutu.

Toinen kompastuskivi on ajatus siitä, että yhdellä luvulla olisi kaksi eri esitystä. Tämä on kuitenkin tuttua murtoluvuista:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0, 5$

Ja samoin kuin puolikas voidaan kirjoittaa eri murtolukuina, luvulle 0,5 on olemassa vielä toinen desimaaliesitys:

$0, 5 = 0,499 9 \dots$

Kaksi esitystä on jokaisella luvulla, jonka desimaalikehitelmä päättyy, nollaa lukuun ottamatta, esimerkiksi 0,25 = 0,24999… tai 7 = 6,999… Kyse ei ole kahdesta luvusta vaan yhdestä luvusta kahdessa valepuvussa.

Katso myös

« Edellinen: Rationaaliluvut

Seuraava: Irrationaaliluvut »