Perché 0,999… è uguale a 1
Il numero 0,999…, che dopo la virgola ha infiniti 9, è uguale a uno. Non approssimativamente, non «quasi», ma esattamente. La maggior parte delle persone all’inizio non ci crede, e le discussioni su questo singolo numero sono tra le più frequenti su internet quando si parla di matematica. Vedremo alcune dimostrazioni e alla fine scopriremo perché l’intuizione continua a suggerirci il contrario.
Come ogni numero periodico, possiamo scrivere anche questo con una lineetta sopra la cifra che si ripete:
Con i terzi
Partiamo da una frazione che non preoccupa nessuno. Se dividiamo uno per tre, otteniamo un numero periodico:
Ora moltiplichiamo per tre entrambi i membri dell’uguaglianza. A sinistra otteniamo
A destra moltiplichiamo ogni 3 separatamente. Poiché 3 · 3 = 9 e nessuna unità si riporta all’ordine superiore, otteniamo
I primi membri sono uguali, quindi devono essere uguali anche i secondi: 1 = 0,999… Chi accetta che 0,333… sia un terzo non può rifiutare nemmeno questo.
Con il decuplo
Questo procedimento l’abbiamo già incontrato nell’articolo sui numeri razionali, dove con lo stesso metodo si trasforma un numero periodico in frazione. Chiamiamo il nostro numero a:
Moltiplichiamo per dieci. La virgola si sposta di un posto verso destra e dopo di essa restano infiniti 9:
Sottraiamo a e tutti i 9 dopo la virgola si annullano a vicenda:
Resta da dividere per nove:
Qual è la differenza?
Se 0,999… e 1 fossero diversi, la loro differenza sarebbe un numero positivo. Proviamo a scoprirlo. Prima prendiamo solo un numero finito di 9:
Ogni 9 in più riduce la differenza di dieci volte. In alto nella figura c’è la retta numerica da zero a uno, con un punto blu in 0,9 e un tratto rosso che manca ancora per arrivare a uno. Ogni retta successiva ingrandisce questo tratto di dieci volte, e per questo i punti blu si trovano via via in 0,9, 0,99 e 0,999:
Scegliamo un numero positivo piccolo a piacere, per esempio un miliardesimo: con un numero sufficiente di 9 la differenza sarà ancora più piccola. In 0,999… però i 9 ci sono tutti insieme, infiniti, quindi la differenza deve essere minore di qualsiasi numero positivo. Ma nessun numero positivo è minore di tutti i numeri positivi: dovrebbe essere minore perfino della propria metà. La differenza può quindi essere soltanto zero.
Un’obiezione frequente è che la differenza sia 0,000…01, cioè infiniti zeri e un uno alla fine. Ma una successione infinita di zeri non ha una fine, quindi non c’è posto dove scrivere quell’uno.
Tra i due non c’è niente
Tra due numeri reali diversi qualsiasi troviamo sempre un altro numero, per esempio la loro media. Tra 0,5 e 0,6 c’è 0,55, tra 0,5 e 0,55 c’è 0,525. Vale per ogni coppia di numeri diversi, per quanto vicini: la loro media ci sta sempre in mezzo.
Quale numero starebbe tra 0,999… e 1? Dovrebbe essere maggiore di 0,999… e allo stesso tempo minore di uno, quindi comincerebbe con zero e virgola. Almeno una sua cifra dopo la virgola dovrebbe allora essere maggiore di 9, e una cifra così non esiste. Tra i due numeri non c’è niente, quindi sono uguali.
Come somma infinita
La scrittura decimale è in realtà una somma: 0,999… significa nove decimi più nove centesimi più nove millesimi e così via:
Ogni addendo è un decimo del precedente, quindi sommiamo i termini di una progressione geometrica di primo termine
Sostituiamo:
A voler essere precisi, la somma di una serie infinita è il limite delle somme dei suoi primi termini, cioè della successione 0,9; 0,99; 0,999; … Essa si avvicina a uno, e la scrittura 0,999… significa proprio questo limite. Anche le dimostrazioni precedenti si basano su questo.
Perché non vogliamo crederci
L’intuizione confonde «tanti 9» con «infiniti 9». Il numero 0,999 con tre 9 è davvero minore di uno, e lo stesso vale per un numero con un milione di 9. Stampato, occuperebbe qualche centinaio di pagine, eppure gli mancherebbe sempre qualcosa per arrivare a uno. Ma
Spesso ci immaginiamo anche 0,999… come un processo: i 9 si aggiungono sempre e il numero si avvicina pian piano a uno. Il numero però non si muove da nessuna parte. Tutti i 9 ci sono fin dall’inizio e il valore non cambia.
Il secondo scoglio è che un solo numero dovrebbe avere due scritture diverse. Ma lo conosciamo già dalle frazioni:
E come la metà si scrive con frazioni diverse, per 0,5 esiste anche un’altra scrittura decimale:
Ogni numero con sviluppo decimale finito, tranne lo zero, ha due scritture, per esempio 0,25 = 0,24999… oppure 7 = 6,999… Non si tratta di due numeri, ma di un solo numero in due travestimenti.
