Чому 0,999… дорівнює 1

Число 0,999…, у якому після коми йде нескінченна кількість дев'яток, дорівнює одиниці. Не приблизно, не «майже», а точно. Більшість людей спершу в це не вірять, а суперечки про це єдине число — одні з найпоширеніших суперечок про математику в інтернеті. Ми розглянемо кілька доведень, а наприкінці з'ясуємо, чому інтуїція досі підказує протилежне.

Як і будь-який періодичний дріб, це число можна записати з рискою над цифрою, що повторюється:

$$0,\bar{9}=1$$

У школі період частіше беруть у круглі дужки: 0,(9) = 1.

Через третини

Почнемо з дробу, який нікого не турбує. Якщо поділити одиницю на три, вийде періодичний дріб:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Тепер помножимо на три обидві частини рівності. Ліворуч вийде

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Праворуч множимо кожну трійку окремо. Оскільки 3 · 3 = 9 і жодна одиниця не переноситься у старший розряд, вийде

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

Ліві частини рівні, тому мають бути рівні й праві: 1 = 0,999… Хто вважає 0,333… однією третиною, той не може відкинути й це.

Через множення на десять

Цей прийом ми вже зустрічали в статті про раціональні числа, де за таким самим способом періодичний дріб перетворюють на звичайний. Позначимо наше число a:

$$a=0,\bar{9}$$

Помножимо на десять. Кома зсувається на одне місце праворуч, а за нею, як і раніше, лишається нескінченна кількість дев'яток:

$$10a=9,\bar{9}$$

Віднімемо від цього a, і всі дев'ятки після коми взаємно знищаться:

$$9a=9$$

Лишається поділити на дев'ять:

$$a=1$$

Яка різниця?

Якби 0,999… і 1 відрізнялися, їхня різниця була б якимось додатним числом. Спробуймо його знайти. Спершу візьмемо лише скінченну кількість дев'яток:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Кожна наступна дев'ятка зменшує різницю удесятеро. Угорі на рисунку зображено числову вісь від нуля до одиниці із синьою точкою в 0,9 і червоним відрізком, якого ще бракує до одиниці. Кожна наступна вісь збільшує цей відрізок удесятеро, тому сині точки лежать послідовно в 0,9, 0,99 і 0,999:

Виберімо довільне мале додатне число, скажімо, одну мільярдну: за достатньої кількості дев'яток різниця буде ще меншою. Але в 0,999… дев'ятки є всі одразу, їх нескінченно багато, тож різниця має бути меншою за будь-яке додатне число. Проте жодне додатне число не є меншим за всі додатні числа, адже воно мало б бути меншим і за власну половину. Отже, різниця може бути лише нулем.

Часто заперечують, що різниця дорівнює 0,000…01, тобто нескінченна кількість нулів, а наприкінці одиниця. Але нескінченний ланцюжок нулів кінця не має, тож немає де записати ту одиницю.

Між ними нічого не вміщується

Між будь-якими двома різними дійсними числами завжди знайдеться ще одне число, наприклад їхнє середнє арифметичне. Між 0,5 і 0,6 лежить 0,55, між 0,5 і 0,55 — 0,525. Це правильно для кожної пари різних чисел, хоч як близько вони лежали б одне до одного: їхнє середнє завжди вміститься між ними.

Яке число лежало б між 0,999… і 1? Воно мало б бути більшим за 0,999… і водночас меншим за одиницю, тож починалося б з нуля і коми. Принаймні одна його цифра після коми мала б бути більшою за дев'ятку, а такої цифри не існує. Між цими двома числами не вміщується нічого, тому вони однакові.

Як нескінченна сума

Десятковий запис насправді є сумою: 0,999… означає дев'ять десятих плюс дев'ять сотих плюс дев'ять тисячних і так далі:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Кожен доданок є десятою частиною попереднього, тож ми підсумовуємо члени геометричної прогресії з першим членом $b_1=\frac{9}{10}$ і знаменником $q=\frac{1}{10}$. Знаменник за модулем менший за одиницю, тому нескінченна сума має скінченне значення, яке обчислюємо за формулою

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Підставимо:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Точніше кажучи, сума нескінченного ряду — це границя сум його перших членів, тобто послідовності 0,9; 0,99; 0,999; … Вона наближається до одиниці, і запис 0,999… означає саме цю границю. На цьому стоять і попередні доведення.

Чому ми не хочемо в це вірити

Інтуїція плутає «багато дев'яток» з «нескінченною кількістю дев'яток». Число 0,999 з трьома дев'ятками справді менше за одиницю, так само як і число з мільйоном дев'яток. Надруковане, воно зайняло б кілька сотень сторінок, і все одно до одиниці йому б дещо бракувало. Але $0,\bar{9}$ — це не багато дев'яток, які десь закінчуються. Вони не закінчуються ніколи, тому цьому числу нічого не бракує.

Ще ми часто уявляємо 0,999… як процес: дев'ятки постійно дописуються, а число підкрадається до одиниці. Але число нікуди не рухається. Усі дев'ятки в ньому є від самого початку, і значення не змінюється.

Другий камінь спотикання полягає в тому, що одне число нібито має мати два різні записи. Проте таке нам знайоме й з дробів:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

І так само, як половину можна записати різними дробами, для 0,5 існує ще один десятковий запис:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Два записи має кожне число зі скінченним десятковим розкладом, крім нуля, наприклад 0,25 = 0,24999… або 7 = 6,999… Це не два числа, а одне число у двох масках.

Див. також

• Раціональні числа
• Дійсні числа
• Послідовності
• Чому не можна ділити на нуль