Pourquoi 0,999… est égal à 1
Le nombre 0,999…, dont la virgule est suivie d’une infinité de 9, est égal à un. Pas approximativement, pas « presque », mais exactement. La plupart des gens n’y croient pas du premier coup et les disputes autour de ce seul nombre comptent parmi les plus fréquentes à propos des mathématiques sur Internet. Nous allons voir plusieurs preuves et découvrir finalement pourquoi l’intuition nous souffle sans cesse le contraire.
Comme pour tout nombre périodique, on peut aussi l’écrire avec un trait au-dessus du chiffre qui se répète :
Avec les tiers
Partons d’une fraction qui ne pose de problème à personne. Si l’on divise un par trois, on obtient un nombre périodique :
Multiplions maintenant les deux membres par trois. À gauche, on obtient
À droite, on multiplie chaque 3 séparément. Comme 3 · 3 = 9 et qu’il n’y a aucune retenue vers le rang supérieur, on obtient
Les membres de gauche sont égaux, donc ceux de droite le sont aussi : 1 = 0,999… Si tu acceptes que 0,333… soit un tiers, tu ne peux pas refuser cela non plus.
Avec la multiplication par dix
Nous avons déjà rencontré cette méthode dans l’article sur les nombres rationnels, où elle sert à convertir un nombre périodique en fraction. Notons a notre nombre :
Multiplions par dix. La virgule se décale d’un rang vers la droite et il reste toujours une infinité de 9 derrière elle :
Soustrayons-en a : tous les 9 après la virgule s’annulent mutuellement :
Il reste à diviser par neuf :
Quelle est la différence ?
Si 0,999… et 1 étaient différents, leur différence serait un nombre strictement positif. Essayons de le trouver. Prenons d’abord seulement un nombre fini de 9 :
Chaque 9 supplémentaire divise la différence par dix. En haut de l’image, on voit une droite numérique de zéro à un avec un point bleu en 0,9 et un segment rouge qui représente ce qui manque encore pour atteindre un. Chaque droite suivante agrandit ce segment dix fois, et c’est pourquoi les points bleus se placent successivement en 0,9, 0,99 et 0,999 :
Choisissons un nombre strictement positif aussi petit que l’on veut, par exemple un milliardième : avec assez de 9, la différence sera encore plus petite. Or dans 0,999…, tous les 9 sont là en même temps, une infinité, donc la différence doit être plus petite que n’importe quel nombre strictement positif. Mais aucun nombre strictement positif n’est plus petit que tous les nombres strictement positifs, puisqu’il devrait être plus petit même que sa propre moitié. La différence ne peut donc être que nulle.
Une objection fréquente est que la différence vaut 0,000…01, c’est-à-dire une infinité de zéros et un 1 à la fin. Mais une suite infinie de zéros n’a pas de fin, et il n’y a donc nulle part où écrire ce 1.
Il n’y a rien entre les deux
Entre deux nombres réels différents quelconques, on trouve toujours un autre nombre, par exemple leur moyenne. Entre 0,5 et 0,6 se trouve 0,55, entre 0,5 et 0,55 se trouve 0,525. Cela vaut pour tout couple de nombres différents, aussi proches soient-ils : leur moyenne se glisse toujours entre eux.
Quel nombre se trouverait entre 0,999… et 1 ? Il devrait être plus grand que 0,999… et en même temps plus petit que un, donc il commencerait par un zéro et une virgule. Au moins un de ses chiffres après la virgule devrait alors être plus grand que 9, et un tel chiffre n’existe pas. Rien ne se glisse entre les deux nombres, ils sont donc égaux.
Comme une somme infinie
L’écriture décimale est en réalité une somme : 0,999… signifie neuf dixièmes plus neuf centièmes plus neuf millièmes et ainsi de suite :
Chaque terme est le dixième du précédent : nous additionnons donc les termes d’une suite géométrique de premier terme
On remplace par les valeurs :
Pour être précis, la somme d’une série infinie est la limite des sommes de ses premiers termes, c’est-à-dire de la suite 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; … Elle se rapproche de un, et l’écriture 0,999… désigne justement cette limite. Les preuves précédentes reposent elles aussi là-dessus.
Pourquoi on ne veut pas y croire
L’intuition confond « beaucoup de 9 » et « une infinité de 9 ». Le nombre 0,999 avec trois 9 est vraiment plus petit que un, tout comme un nombre avec un million de 9. Imprimé, il occuperait quelques centaines de pages, et pourtant il lui manquerait toujours quelque chose pour atteindre un. Mais
On imagine aussi souvent 0,999… comme un processus : on ajoute sans cesse des 9 et le nombre se rapproche de un. Mais le nombre ne bouge pas. Tous les 9 y sont dès le départ et sa valeur ne change pas.
Une autre difficulté vient de l’idée qu’un même nombre aurait deux écritures différentes. Pourtant, nous connaissons déjà cela avec les fractions :
Et de même que l’on écrit un demi avec différentes fractions, il existe pour 0,5 une autre écriture décimale :
Tout nombre décimal non nul a deux écritures décimales, par exemple 0,25 = 0,24999… ou 7 = 6,999… Il ne s’agit pas de deux nombres, mais d’un seul nombre sous deux déguisements.
