Por que 0,999… é igual a 1
O número 0,999…, em que depois da vírgula vêm infinitos noves, é igual a um. Não aproximadamente, não “quase”, mas exatamente. A maioria das pessoas não acredita nisso de primeira, e as discussões sobre esse único número estão entre as mais frequentes sobre matemática na internet. Vamos ver várias demonstrações e, no final, descobrir por que a intuição insiste em dizer o contrário.
Como em toda dízima periódica, também podemos escrever esse número com uma barra sobre o algarismo que se repete:
Pelos terços
Partimos de uma fração que não preocupa ninguém. Ao dividir um por três, obtemos uma dízima periódica:
Agora multiplicamos os dois lados da igualdade por três. À esquerda obtemos
À direita multiplicamos cada 3 separadamente. Como 3 · 3 = 9 e não há nenhum “vai um” para a ordem seguinte, obtemos
Os lados esquerdos são iguais e, por isso, os direitos também precisam ser: 1 = 0,999… Quem aceita que 0,333… é um terço não pode recusar este resultado.
Multiplicando por dez
Esse procedimento já apareceu no artigo sobre números racionais, onde, do mesmo modo, uma dízima periódica é convertida em fração. Chamamos o nosso número de a:
Multiplicamos por dez. A vírgula se desloca uma casa para a direita e, depois dela, continuam existindo infinitos noves:
Subtraímos a e todos os noves depois da vírgula se anulam:
Falta dividir por nove:
Qual é a diferença?
Se 0,999… e 1 fossem diferentes, a diferença entre eles seria algum número positivo. Vamos tentar descobri-la. Primeiro tomamos apenas uma quantidade finita de noves:
Cada nove a mais reduz a diferença dez vezes. No alto da figura há uma reta numérica de zero a um, com um ponto azul em 0,9 e um trecho vermelho que ainda falta para chegar a um. Cada reta seguinte amplia esse trecho dez vezes e, por isso, os pontos azuis ficam sucessivamente em 0,9, 0,99 e 0,999:
Escolha um número positivo tão pequeno quanto quiser, por exemplo um bilionésimo: com noves suficientes, a diferença será ainda menor. Mas em 0,999… os noves estão todos presentes de uma vez, infinitos, de modo que a diferença precisa ser menor que qualquer número positivo. Só que nenhum número positivo é menor que todos os números positivos, pois teria de ser menor até que a sua própria metade. Portanto, a diferença só pode ser zero.
Uma objeção comum é que a diferença seria 0,000…01, isto é, infinitos zeros e um 1 no final. Só que uma sequência infinita de zeros não tem fim, então não há onde escrever esse 1.
Entre eles não cabe nada
Entre quaisquer dois números reais diferentes sempre encontramos outro número, por exemplo a média entre eles. Entre 0,5 e 0,6 fica 0,55, entre 0,5 e 0,55 fica 0,525. Isso vale para qualquer par de números diferentes, por mais próximos que estejam: a média deles sempre cabe entre eles.
Que número ficaria entre 0,999… e 1? Ele teria de ser maior que 0,999… e, ao mesmo tempo, menor que um, então começaria com zero e vírgula. Pelo menos um dos algarismos dele depois da vírgula precisaria ser maior que nove, e esse não existe. Entre os dois números não cabe nada, portanto eles são iguais.
Como uma soma infinita
A representação decimal é, na verdade, uma soma: 0,999… significa nove décimos mais nove centésimos mais nove milésimos e assim por diante:
Cada parcela é um décimo da anterior, então estamos somando os termos de uma progressão geométrica de primeiro termo
Substituindo:
Para ser exato, a soma de uma série infinita é o limite das somas dos seus primeiros termos, isto é, da sequência 0,9; 0,99; 0,999; … Ela se aproxima de um, e a escrita 0,999… significa justamente esse limite. As demonstrações anteriores também se apoiam nisso.
Por que não queremos acreditar
A intuição confunde “muitos noves” com “infinitos noves”. O número 0,999 com três noves é de fato menor que um, assim como o número com um milhão de noves. Impresso, ele ocuparia algumas centenas de páginas e, mesmo assim, ainda faltaria algo para chegar a um. Só que
Também costumamos imaginar 0,999… como um processo: os noves vão sendo acrescentados e o número vai se aproximando de um aos poucos. Mas o número não se move para lugar nenhum. Todos os noves estão nele desde o começo, e o valor não muda.
A segunda dificuldade é a ideia de que um número teria duas representações diferentes. Só que isso também já conhecemos das frações:
E, assim como a metade se escreve com frações diferentes, existe para 0,5 ainda outra representação decimal:
Todo número com representação decimal finita, exceto o zero, tem duas representações, por exemplo 0,25 = 0,24999… ou 7 = 6,999… Não se trata de dois números, mas de um mesmo número com dois disfarces.
