Miért egyenlő a 0,999… eggyel

A 0,999… szám, amelynek tizedesvesszője mögött végtelen sok kilences áll, egyenlő eggyel. Nem megközelítőleg, nem „majdnem”, hanem pontosan. A legtöbben elsőre nem hiszik el, és erről az egyetlen számról folyik az interneten az egyik leggyakoribb vita a matematikáról. Megmutatunk néhány bizonyítást, a végén pedig kiderítjük, miért súgja nekünk a megérzésünk mégis az ellenkezőjét.

Mint minden szakaszos tizedes törtet, ezt is felírhatjuk az ismétlődő számjegy fölé tett ponttal:

$$0,\dot{9}=1$$

A harmadokkal

Induljunk ki egy törtből, amellyel senkinek sincs gondja. Ha az egyet elosztjuk hárommal, szakaszos tizedes törtet kapunk:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Most szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát hárommal. A bal oldalon ez jön ki:

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

A jobb oldalon minden hármast külön szorzunk meg. Mivel 3 · 3 = 9, és nincs átvitel a magasabb helyiértékre, azt kapjuk, hogy

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

A bal oldalak egyenlők, ezért a jobb oldalaknak is egyenlőnek kell lenniük: 1 = 0,999… Aki a 0,333… számot a harmaddal azonosítja, ezt sem utasíthatja el.

A tízszeressel

Ezt az eljárást már láttuk a racionális számokról szóló cikkben, ahol ugyanígy váltjuk át a szakaszos tizedes törtet törtté. Jelöljük a számunkat a-val:

$$a=0,\dot{9}$$

Szorozzuk meg tízzel. A tizedesvessző egy hellyel jobbra lép, mögötte pedig továbbra is végtelen sok kilences marad:

$$10a=9,\dot{9}$$

Ebből vonjuk ki az a-t, és a tizedesvessző mögötti kilencesek mind kiesnek:

$$9a=9$$

Már csak el kell osztani kilenccel:

$$a=1$$

Mekkora a különbség?

Ha a 0,999… és az 1 különbözne, a különbségük valamilyen pozitív szám lenne. Próbáljuk kideríteni, mekkora. Először vegyünk csak véges sok kilencest:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Minden további kilences tizedére csökkenti a különbséget. Az ábra tetején egy számegyenes látható nullától egyig, a 0,9-nél kék ponttal, és piros szakasszal, amely még hiányzik az egyig. Minden további számegyenes ezt a szakaszt tízszeresére nagyítja, ezért a kék pontok sorban a 0,9, a 0,99 és a 0,999 helyén vannak:

Válasszunk tetszőlegesen kicsi pozitív számot, például egy milliárdodot: elég sok kilencessel a különbség ennél is kisebb lesz. A 0,999… számban viszont az összes kilences egyszerre ott van, végtelen sok, ezért a különbségnek kisebbnek kell lennie bármely pozitív számnál. Csakhogy nincs olyan pozitív szám, amely kisebb volna az összes pozitív számnál, hiszen kisebbnek kellene lennie a saját felénél is. A különbség tehát csak nulla lehet.

Gyakori ellenvetés, hogy a különbség 0,000…01, vagyis végtelen sok nulla, a végén pedig egy egyes. Csakhogy a nullák végtelen hosszú sorozatának nincs vége, így nincs hová leírni az egyest.

Közöttük nincs semmi

Bármely két különböző valós szám között mindig találunk egy újabbat, például a számtani közepüket. A 0,5 és a 0,6 között ott van a 0,55, a 0,5 és a 0,55 között pedig a 0,525. Ez minden különböző számpárra igaz, bármilyen közel vannak is egymáshoz: az átlaguk mindig beférkőzik közéjük.

Melyik szám lenne a 0,999… és az 1 között? Nagyobbnak kellene lennie a 0,999… számnál, de kisebbnek egynél, tehát nullával és tizedesvesszővel kezdődne. A tizedesvessző utáni számjegyek között legalább egynek nagyobbnak kellene lennie kilencesnél, ilyen számjegy pedig nincs. A két szám közé semmi sem fér, ezért egyenlők.

Végtelen összegként

A tizedes tört felírása valójában összeg: a 0,999… azt jelenti: kilenc tized plusz kilenc század plusz kilenc ezred és így tovább:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Minden tag az előző tizede, tehát egy mértani sorozat tagjait adjuk össze, amelynek első tagja $a_1=\frac{9}{10}$, hányadosa pedig $q=\frac{1}{10}$. A hányados abszolút értéke kisebb egynél, ezért a végtelen összegnek véges értéke van, és ezt a következő képlettel számoljuk ki:

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Helyettesítsünk be:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Pontosabban a végtelen sor összege az első tagjaiból képzett részletösszegek határértéke, vagyis a 0,9; 0,99; 0,999; … sorozaté. Ez az egyhez közeledik, és a 0,999… jelölés éppen ezt a határértéket jelenti. Erre épülnek az előző bizonyítások is.

Miért nem akarjuk elhinni

A megérzésünk összekeveri a „sok kilencest” a „végtelen sok kilencessel”. A három kilencesből álló 0,999 valóban kisebb egynél, ahogy a millió kilencesből álló szám is. Kinyomtatva több száz oldalt tenne ki, és mégis hiányozna belőle valamennyi az egyhez. A $0,\dot{9}$ viszont nem sok olyan kilences, amely valahol véget ér. Soha nem ér véget, ezért nem hiányzik belőle semmi.

A 0,999… számot gyakran folyamatként is elképzeljük: egyre újabb kilenceseket írunk hozzá, és a szám lassan kúszik az egy felé. A szám azonban sehová sem mozdul. Az összes kilences kezdettől fogva benne van, az értéke nem változik.

A másik buktató, hogy egy számnak két különböző felírása volna. Ezt viszont a törtekből is ismerjük:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

És ahogy a felet többféle törttel is felírhatjuk, a 0,5-nek is van még egy tizedes tört alakja:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Két felírása van minden véges tizedes kifejtésű számnak a nulla kivételével, például 0,25 = 0,24999… vagy 7 = 6,999… Nem két számról van szó, hanem egyről két különböző álruhában.

Lásd még

• Racionális számok
• Valós számok
• Sorozatok
• Miért nem lehet nullával osztani