Hvorfor 0,999… er lik 1
Tallet 0,999…, der det står uendelig mange niere etter kommaet, er lik én. Ikke omtrent, ikke «nesten», men nøyaktig. De fleste tror ikke på det første gang de hører det, og diskusjoner om akkurat dette tallet hører til de vanligste diskusjonene om matematikk på nettet. Vi skal se på flere bevis, og til slutt finner vi ut hvorfor intuisjonen vår stadig hvisker det motsatte.
Som for alle periodiske tall kan vi skrive også dette med en strek over sifferet som gjentar seg:
Via tredeler
Vi tar utgangspunkt i en brøk som ingen bekymrer seg for. Når vi deler én på tre, får vi et periodisk tall:
Nå multipliserer vi begge sidene av likningen med tre. På venstre side får vi
På høyre side multipliserer vi hver treer for seg. Siden 3 · 3 = 9 og ingenting blir med over til neste plass, får vi
De venstre sidene er like, og da må også de høyre sidene være like: 1 = 0,999… Den som godtar at 0,333… er en tredjedel, kan ikke avvise dette heller.
Via ti ganger tallet
Denne framgangsmåten har vi allerede møtt i artikkelen om rasjonale tall, der den samme metoden brukes til å regne om et periodisk tall til brøk. Vi kaller tallet vårt a:
Vi multipliserer med ti. Kommaet flytter seg én plass til høyre, og etter det står det fortsatt uendelig mange niere:
Vi trekker fra a, og alle nierne etter kommaet går opp i hverandre:
Da gjenstår det bare å dele på ni:
Hva er forskjellen?
Hvis 0,999… og 1 var forskjellige, ville differansen mellom dem vært et positivt tall. La oss prøve å finne det. Først tar vi bare et endelig antall niere:
Hver ny nier gjør differansen ti ganger mindre. Øverst i figuren er tallinjen fra null til én med et blått punkt i 0,9 og et rødt stykke som ennå mangler opp til én. Hver ny tallinje forstørrer dette stykket ti ganger, og derfor ligger de blå punktene etter hverandre i 0,9, 0,99 og 0,999:
Velg et vilkårlig lite positivt tall, for eksempel én milliarddel: med nok niere blir differansen enda mindre. I 0,999… er det imidlertid alle nierne på én gang, uendelig mange, så differansen må være mindre enn ethvert positivt tall. Men det finnes ikke noe positivt tall som er mindre enn alle positive tall, for da måtte det jo også være mindre enn sin egen halvdel. Differansen kan altså bare være null.
En vanlig innvending er at differansen er 0,000…01, altså uendelig mange nuller og en ener på slutten. Men en uendelig lang rad med nuller har ingen slutt, og da finnes det ingen plass til eneren.
Det er ikke plass til noe mellom dem
Mellom to vilkårlige forskjellige reelle tall finner vi alltid et nytt tall, for eksempel gjennomsnittet av dem. Mellom 0,5 og 0,6 ligger 0,55, og mellom 0,5 og 0,55 ligger 0,525. Det gjelder for alle par av forskjellige tall, uansett hvor nær hverandre de ligger: gjennomsnittet deres får alltid plass mellom dem.
Hvilket tall skulle ligge mellom 0,999… og 1? Det måtte være større enn 0,999… og samtidig mindre enn én, så det ville begynne med null og komma. Minst ett av sifrene etter kommaet måtte da være større enn ni, og et slikt siffer finnes ikke. Mellom de to tallene er det ikke plass til noe, så de er like.
Som en uendelig sum
Desimalskrivemåten er egentlig en sum: 0,999… betyr ni tideler pluss ni hundredeler pluss ni tusendeler og så videre:
Hvert ledd er en tidel av det forrige, så vi summerer ledd i en geometrisk følge med første ledd
Vi setter inn:
Strengt tatt er summen av en uendelig rekke grenseverdien til summene av de første leddene, altså til følgen 0,9; 0,99; 0,999; … Den nærmer seg én, og skrivemåten 0,999… betyr nettopp denne grenseverdien. De foregående bevisene bygger også på dette.
Hvorfor vil vi ikke tro det
Intuisjonen vår blander sammen «mange niere» og «uendelig mange niere». Tallet 0,999 med tre niere er faktisk mindre enn én, og det samme er et tall med en million niere. Utskrevet ville det fylt noen hundre sider, og likevel ville det fortsatt mangle noe til én. Men
Vi forestiller oss også ofte 0,999… som en prosess: det legges stadig til nye niere, og tallet sniker seg nærmere én. Men tallet beveger seg ikke noe sted. Alle nierne er der fra begynnelsen, og verdien endrer seg ikke.
Den andre snublesteinen er at ett tall skulle ha to ulike skrivemåter. Men det kjenner vi allerede fra brøk:
Og på samme måte som vi kan skrive en halv med ulike brøker, finnes det en annen desimalskrivemåte for 0,5:
Alle tall med endelig desimalutvikling bortsett fra null har to skrivemåter, for eksempel 0,25 = 0,24999… eller 7 = 6,999… Det er ikke to tall, men ett tall i to forkledninger.
