Dlaczego 0,999… równa się 1

Liczba 0,999…, w której po przecinku następuje nieskończenie wiele dziewiątek, jest równa jeden. Nie w przybliżeniu, nie „prawie”, ale dokładnie. Większość ludzi na początku w to nie wierzy, a spory o tę jedną liczbę należą do najczęstszych sporów o matematykę w internecie. Pokażemy kilka dowodów, a na końcu zobaczymy, dlaczego intuicja wciąż podpowiada coś przeciwnego.

Jak każdą liczbę okresową, możemy i tę zapisać z kreską nad cyfrą, która się powtarza (w polskiej szkole najczęściej zapisuje się okres w nawiasie, tutaj 0,(9)):

$$0,\bar{9}=1$$

Przez jedną trzecią

Wyjdziemy od ułamka, który nikomu nie sprawia kłopotu. Gdy dzielimy jeden przez trzy, wychodzi liczba okresowa:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Teraz pomnożymy przez trzy obie strony równania. Po lewej wyjdzie

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Po prawej mnożymy każdą trójkę osobno. Ponieważ 3 · 3 = 9 i żadna jedność nie przechodzi do wyższego rzędu, wyjdzie

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

Lewe strony są równe, więc muszą być równe i prawe: 1 = 0,999… Kto uznaje 0,333… za jedną trzecią, nie może odrzucić także tego.

Przez dziesięciokrotność

Ten sposób już znamy z artykułu o liczbach wymiernych, w którym tym samym sposobem zamienia się liczbę okresową na ułamek. Oznaczmy naszą liczbę jako a:

$$a=0,\bar{9}$$

Pomnożymy przez dziesięć. Przecinek przesunie się o jedno miejsce w prawo, a za nim nadal zostaje nieskończenie wiele dziewiątek:

$$10a=9,\bar{9}$$

Odejmiemy od tego a i wszystkie dziewiątki po przecinku wzajemnie się zredukują:

$$9a=9$$

Zostaje podzielić przez dziewięć:

$$a=1$$

Jaka jest różnica?

Gdyby 0,999… i 1 się różniły, ich różnica byłaby jakąś liczbą dodatnią. Spróbujmy ją wytropić. Najpierw weźmy tylko skończoną liczbę dziewiątek:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Każda kolejna dziewiątka zmniejsza różnicę dziesięciokrotnie. Na górze rysunku jest oś liczbowa od zera do jedynki z niebieskim punktem w 0,9 i czerwonym odcinkiem, którego do jedynki jeszcze brakuje. Każda kolejna oś powiększa ten odcinek dziesięciokrotnie, dlatego niebieskie punkty leżą kolejno w 0,9, 0,99 i 0,999:

Wybierzmy dowolnie małą liczbę dodatnią, na przykład jedną miliardową: przy odpowiednio dużej liczbie dziewiątek różnica będzie jeszcze mniejsza. W 0,999… są jednak wszystkie dziewiątki naraz, nieskończenie wiele, więc różnica musi być mniejsza od każdej liczby dodatniej. Tylko że żadna liczba dodatnia nie jest mniejsza od wszystkich liczb dodatnich, przecież musiałaby być mniejsza nawet od własnej połowy. Różnica może więc być tylko zerem.

Częsty zarzut brzmi, że różnica wynosi 0,000…01, czyli nieskończenie wiele zer, a na końcu jedynka. Tyle że nieskończony ciąg zer żadnego końca nie ma, więc nie ma gdzie tej jedynki dopisać.

Pomiędzy nimi nic się nie zmieści

Pomiędzy dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi zawsze znajdziemy jeszcze jedną liczbę, na przykład ich średnią. Między 0,5 a 0,6 leży 0,55, a między 0,5 a 0,55 leży 0,525. Dotyczy to każdej pary różnych liczb, choćby leżały bardzo blisko siebie: ich średnia zawsze się między nie zmieści.

Jaka liczba leżałaby między 0,999… a 1? Musiałaby być większa od 0,999… i jednocześnie mniejsza od jedynki, więc zaczynałaby się od zera i przecinka. Co najmniej jedna jej cyfra po przecinku musiałaby wtedy być większa od dziewiątki, a takiej cyfry nie ma. Między te dwie liczby nie zmieści się nic, więc są takie same.

Jako suma nieskończona

Zapis dziesiętny jest w rzeczywistości sumą: 0,999… oznacza dziewięć dziesiątych plus dziewięć setnych plus dziewięć tysięcznych i tak dalej:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Każdy składnik jest dziesiątą częścią poprzedniego, dodajemy więc wyrazy ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=\frac{9}{10}$ i ilorazie $q=\frac{1}{10}$. Iloraz jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od jedności, dlatego suma nieskończona ma skończoną wartość, którą obliczymy ze wzoru

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Podstawiamy:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Ściśle mówiąc, suma szeregu nieskończonego jest granicą sum jego początkowych wyrazów, czyli ciągu 0,9; 0,99; 0,999; … Ten ciąg zbliża się do jedynki, a zapis 0,999… oznacza właśnie tę granicę. Na tym opierają się także poprzednie dowody.

Dlaczego nie chcemy w to wierzyć

Intuicja myli „dużo dziewiątek” z „nieskończenie wieloma dziewiątkami”. Liczba 0,999 z trzema dziewiątkami jest rzeczywiście mniejsza od jedynki, tak samo jak liczba z milionem dziewiątek. Wydrukowana zajęłaby kilkaset stron, a mimo to do jedynki wciąż by jej coś brakowało. Tyle że $0,\bar{9}$ to nie jest dużo dziewiątek, które gdzieś się kończą. Nie kończą się nigdy, dlatego tej liczbie niczego nie brakuje.

Często też wyobrażamy sobie 0,999… jako proces: dziewiątki ciągle się dopisują, a liczba skrada się ku jedynce. Liczba jednak nigdzie się nie przesuwa. Wszystkie dziewiątki są w niej od początku, a jej wartość się nie zmienia.

Druga przeszkoda polega na tym, że jedna liczba miałaby mieć dwa różne zapisy. Tylko że znamy to i z ułamków:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

Podobnie jak połowę zapiszemy różnymi ułamkami, istnieje dla 0,5 jeszcze jeden zapis dziesiętny:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Dwa zapisy ma każda liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym oprócz zera, na przykład 0,25 = 0,24999… albo 7 = 6,999… To nie są dwie liczby, tylko jedna liczba w dwóch przebraniach.

Zobacz też

• Liczby wymierne
• Liczby rzeczywiste
• Ciągi
• Dlaczego nie można dzielić przez zero