Varför 0,999… är lika med 1

Talet 0,999…, där decimalkommat följs av oändligt många nior, är lika med ett. Inte ungefär, inte ”nästan”, utan exakt. De flesta tror inte på det första gången, och diskussionerna om just det här talet hör till de vanligaste matematikdiskussionerna på internet. Vi går igenom flera bevis och undersöker till sist varför intuitionen hela tiden viskar tvärtom.

Som alla periodiska tal kan vi också skriva det med ett streck över siffran som upprepas:

$$0,\bar{9}=1$$

Med tredjedelar

Vi utgår från ett bråk som ingen bekymrar sig över. Om vi dividerar ett med tre får vi ett periodiskt tal:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Nu multiplicerar vi båda sidor av ekvationen med tre. Till vänster får vi

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Till höger multiplicerar vi varje trea för sig. Eftersom 3 · 3 = 9 och vi aldrig får någon minnessiffra som ska föras över till nästa position, får vi

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

De vänstra sidorna är lika, och därför måste även de högra vara lika: 1 = 0,999… Den som accepterar att 0,333… är en tredjedel kan inte heller förkasta det här.

Med tiofaldigande

Det här tillvägagångssättet har vi redan mött i artikeln om rationella tal, där vi med samma metod omvandlar ett periodiskt tal till bråk. Vi kallar vårt tal a:

$$a=0,\bar{9}$$

Vi multiplicerar med tio. Decimalkommat flyttas ett steg åt höger och efter det finns fortfarande oändligt många nior:

$$10a=9,\bar{9}$$

Från det subtraherar vi a, och alla nior efter decimalkommat tar ut varandra:

$$9a=9$$

Återstår att dividera med nio:

$$a=1$$

Vad är differensen?

Om 0,999… och 1 skulle vara olika vore deras differens ett positivt tal. Vi försöker spåra upp det. Först tar vi bara ett ändligt antal nior:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Varje ny nia gör differensen tio gånger mindre. Överst på bilden finns en tallinje från noll till ett med en blå punkt i 0,9 och en röd sträcka som fortfarande saknas upp till ettan. Varje följande tallinje förstorar sträckan tio gånger, och därför ligger de blå punkterna i tur och ordning i 0,9, 0,99 och 0,999:

Välj ett godtyckligt litet positivt tal, till exempel en miljarddel: med tillräckligt många nior blir differensen ännu mindre. I 0,999… finns dock alla nior på en gång, oändligt många, så differensen måste vara mindre än vilket positivt tal som helst. Men inget positivt tal är mindre än alla positiva tal, det skulle ju också behöva vara mindre än sin egen hälft. Differensen kan alltså bara vara noll.

En vanlig invändning är att differensen är 0,000…01, alltså oändligt många nollor och en etta på slutet. Men en oändligt lång rad av nollor har inget slut, så det finns ingenstans att skriva ettan.

Mellan dem ryms ingenting

Mellan två godtyckliga olika reella tal hittar vi alltid ytterligare ett tal, till exempel deras medelvärde. Mellan 0,5 och 0,6 ligger 0,55, mellan 0,5 och 0,55 ligger 0,525. Det gäller för varje par av olika tal, hur nära varandra de än ligger: deras medelvärde ryms alltid mellan dem.

Vilket tal skulle ligga mellan 0,999… och 1? Det skulle behöva vara större än 0,999… och samtidigt mindre än ett, så det skulle börja med noll och decimalkomma. Minst en av dess siffror efter decimalkommat skulle då behöva vara större än nio, och en sådan siffra finns inte. Mellan de två talen ryms ingenting, så de är lika.

Som en oändlig summa

Decimalskrivningen är i själva verket en summa: 0,999… betyder nio tiondelar plus nio hundradelar plus nio tusendelar och så vidare:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Varje term är en tiondel av den föregående, så vi summerar termerna i en geometrisk talföljd med första termen $a_1=\frac{9}{10}$ och kvoten $q=\frac{1}{10}$. Kvotens absolutbelopp är mindre än ett, och därför har den oändliga summan ett ändligt värde, som vi beräknar med formeln

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Vi sätter in:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Mer exakt är summan av en oändlig serie gränsvärdet av summorna av dess första termer, alltså av talföljden 0,9; 0,99; 0,999; … Den närmar sig ett, och skrivsättet 0,999… betyder just det här gränsvärdet. På det vilar även de föregående bevisen.

Varför vi inte vill tro på det

Intuitionen blandar ihop ”många nior” med ”oändligt många nior”. Talet 0,999 med tre nior är verkligen mindre än ett, och det är även talet med en miljon nior. Utskrivet skulle det ta upp några hundra sidor, och ändå skulle det fortfarande saknas något till ettan. Men $0,\bar{9}$ är inte många nior som tar slut någonstans. De tar aldrig slut, och därför saknas ingenting.

Vi föreställer oss också ofta 0,999… som en process: niorna läggs till hela tiden och talet kryper mot ettan. Men talet rör sig ingenstans. Alla nior finns där från början och värdet ändras inte.

Den andra stötestenen är att ett tal skulle ha två olika skrivsätt. Det känner vi dock igen från bråk:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

Och precis som vi kan skriva hälften med olika bråk finns det ytterligare ett decimalt skrivsätt för 0,5:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Två skrivsätt har varje tal med ändlig decimalutveckling utom noll, till exempel 0,25 = 0,24999… eller 7 = 6,999… Det handlar inte om två tal, utan om ett tal i två förklädnader.

Se även

• Rationella tal
• Reella tal
• Talföljder
• Varför man inte kan dividera med noll