De ce 0,999… este egal cu 1

Numărul 0,999…, în care după virgulă urmează o infinitate de cifre de 9, este egal cu unu. Nu aproximativ, nu „aproape”, ci exact. Majoritatea oamenilor nu cred asta de la prima vedere, iar disputele despre acest singur număr se numără printre cele mai frecvente dispute despre matematică de pe internet. Vom vedea câteva demonstrații și, la sfârșit, vom afla de ce intuiția ne șoptește mereu contrariul.

Ca orice număr periodic, îl putem scrie și cu o linie deasupra cifrei care se repetă (în școală perioada se scrie mai des între paranteze: 0,(9)):

$0, \overset{―}{9} = 1$

Prin treimi

Pornim de la o fracție care nu îi face probleme nimănui. Dacă împărțim unu la trei, obținem un număr periodic:

$\frac{1}{3} = 0,333 \dots$

Acum înmulțim cu trei ambii membri ai egalității. În stânga obținem

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

În dreapta înmulțim fiecare cifră de 3 separat. Deoarece 3 · 3 = 9 și nicio unitate nu se transportă în ordinul următor, obținem

$3 \cdot 0,333 \dots = 0,999 \dots$

Membrii stângi sunt egali, deci trebuie să fie egali și cei drepți: 1 = 0,999… Cine consideră că 0,333… este o treime nu poate respinge nici acest rezultat.

Prin înmulțirea cu zece

Acest procedeu l-am întâlnit deja în articolul despre numerele raționale, unde în același fel se transformă un număr periodic în fracție. Notăm numărul nostru cu a:

$a = 0, \overset{―}{9}$

Înmulțim cu zece. Virgula se mută cu un loc spre dreapta, iar după ea rămân în continuare o infinitate de cifre de 9:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Scădem a și toate cifrele de 9 de după virgulă se reduc între ele:

$9 a = 9$

Rămâne să împărțim la nouă:

$a = 1$

Care este diferența?

Dacă 0,999… și 1 ar fi diferite, diferența lor ar fi un număr pozitiv. Să încercăm să-l găsim. Mai întâi luăm doar un număr finit de cifre de 9:

$\begin{array}{rcl} 1 - 0, 9 & = & 0, 1 \\ 1 - 0, 99 & = & 0, 01 \\ 1 - 0,999 & = & 0,001 \end{array}$

Fiecare cifră de 9 în plus micșorează diferența de zece ori. Sus, în figură, se află axa numerelor de la zero la unu, cu un punct albastru în 0,9 și un segment roșu care mai lipsește până la unu. Fiecare axă următoare mărește acest segment de zece ori, de aceea punctele albastre se află pe rând în 0,9, 0,99 și 0,999:

Bucata care lipsește până la unu numerelor cu una, două și trei cifre de 9, de fiecare dată mărită de zece ori

Alegem un număr pozitiv oricât de mic, de exemplu o miliardime: cu un număr suficient de cifre de 9, diferența va fi și mai mică. În 0,999… însă cifrele de 9 sunt toate deodată, o infinitate, așa că diferența trebuie să fie mai mică decât orice număr pozitiv. Dar niciun număr pozitiv nu este mai mic decât toate numerele pozitive, pentru că ar trebui să fie mai mic și decât jumătatea lui. Diferența nu poate fi deci decât zero.

O obiecție frecventă este că diferența ar fi 0,000…01, adică un șir infinit de zerouri și la sfârșit un unu. Numai că un șir infinit de zerouri nu are sfârșit, așa că nu există loc unde să scriem acel unu.

Între ele nu încape nimic

Între oricare două numere reale diferite găsim întotdeauna un alt număr, de exemplu media lor. Între 0,5 și 0,6 se află 0,55, între 0,5 și 0,55 se află 0,525. Asta se întâmplă pentru orice pereche de numere diferite, oricât de apropiate ar fi: media lor încape întotdeauna între ele.

Ce număr s-ar afla între 0,999… și 1? Ar trebui să fie mai mare decât 0,999… și în același timp mai mic decât unu, deci ar începe cu zero și virgulă. Cel puțin una dintre cifrele lui de după virgulă ar trebui atunci să fie mai mare decât nouă, iar o astfel de cifră nu există. Între cele două numere nu încape nimic, deci ele sunt egale.

Ca o sumă infinită

Scrierea zecimală este de fapt o sumă: 0,999… înseamnă nouă zecimi plus nouă sutimi plus nouă miimi și așa mai departe:

$0,999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

Fiecare termen este a zecea parte din cel precedent, deci adunăm termenii unei progresii geometrice cu primul termen $a_{1} = \frac{9}{10}$ și rația $q = \frac{1}{10}$ . Rația este, în valoare absolută, mai mică decât unu, de aceea suma infinită are o valoare finită, pe care o calculăm cu formula

$S = \frac{a_{1}}{1 - q} .$

Înlocuim:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

Mai exact, suma unei serii infinite este limita sumelor primilor ei termeni, adică a șirului 0,9; 0,99; 0,999; … Acesta se apropie de unu, iar scrierea 0,999… înseamnă tocmai această limită. Pe aceasta se sprijină și demonstrațiile precedente.

De ce nu vrem să credem

Intuiția confundă „multe cifre de 9” cu „o infinitate de cifre de 9”. Numărul 0,999 cu trei cifre de 9 este într-adevăr mai mic decât unu, la fel ca numărul cu un milion de cifre de 9. Tipărit, ar ocupa câteva sute de pagini și totuși i-ar lipsi în continuare ceva până la unu. Numai că $0, \overset{―}{9}$ nu înseamnă multe cifre de 9 care se termină undeva. Nu se termină niciodată și tocmai de aceea nu îi lipsește nimic.

De asemenea, ne imaginăm adesea 0,999… ca pe un proces: cifrele de 9 se tot adaugă, iar numărul se târăște spre unu. Numărul însă nu se mișcă nicăieri. Toate cifrele de 9 sunt în el de la început, iar valoarea lui nu se schimbă.

Al doilea obstacol este faptul că un singur număr ar trebui să aibă două scrieri diferite. Dar și asta cunoaștem de la fracții:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0, 5$

Și, așa cum jumătatea se scrie prin fracții diferite, pentru 0,5 există încă o scriere zecimală:

$0, 5 = 0,499 9 \dots$

Două scrieri are orice număr cu o scriere zecimală finită, cu excepția lui zero, de exemplu 0,25 = 0,24999… sau 7 = 6,999… Nu sunt două numere, ci unul singur în două travestiuri.

Vezi și

« Anterior: Numere raționale

Următor: Numere iraționale »