Warum 0,999… gleich 1 ist
Die Zahl 0,999…, bei der hinter dem Komma unendlich viele Neunen folgen, ist gleich eins. Nicht ungefähr, nicht „fast“, sondern genau. Die meisten Menschen glauben das beim ersten Mal nicht, und Streit um diese eine Zahl gehört zu den häufigsten Mathe-Streitigkeiten im Internet. Wir sehen uns mehrere Beweise an und finden am Ende heraus, warum uns die Intuition trotzdem das Gegenteil einflüstert.
Wie jede periodische Zahl können wir auch diese mit einem Strich über der Ziffer schreiben, die sich wiederholt:
Über Drittel
Wir gehen von einem Bruch aus, der niemandem Sorgen macht. Wenn wir eins durch drei teilen, erhalten wir eine periodische Zahl:
Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit drei. Links erhalten wir
Rechts multiplizieren wir jede Drei einzeln. Da 3 · 3 = 9 ist und keine Einheit in die nächsthöhere Stelle übertragen wird, erhalten wir
Die linken Seiten sind gleich, also müssen auch die rechten gleich sein: 1 = 0,999… Wer 0,333… für ein Drittel hält, kann auch das hier nicht ablehnen.
Über das Zehnfache
Dieses Vorgehen haben wir schon im Artikel über rationale Zahlen kennengelernt, wo mit demselben Verfahren eine periodische Zahl in einen Bruch umgewandelt wird. Wir bezeichnen unsere Zahl mit a:
Wir multiplizieren mit zehn. Das Komma rückt um eine Stelle nach rechts, und dahinter bleiben weiterhin unendlich viele Neunen:
Davon ziehen wir a ab, und alle Neunen hinter dem Komma heben sich gegenseitig auf:
Es bleibt, durch neun zu teilen:
Wie groß ist der Unterschied?
Wenn sich 0,999… und 1 unterschieden, wäre ihre Differenz eine positive Zahl. Versuchen wir, sie aufzuspüren. Zuerst nehmen wir nur endlich viele Neunen:
Jede weitere Neun verkleinert die Differenz auf ein Zehntel. Oben in der Abbildung siehst du einen Zahlenstrahl von null bis eins mit einem blauen Punkt bei 0,9 und einem roten Abschnitt, der bis zur Eins noch fehlt. Jeder weitere Zahlenstrahl vergrößert diesen Abschnitt auf das Zehnfache, und deshalb liegen die blauen Punkte nacheinander bei 0,9, 0,99 und 0,999:
Wählen wir eine beliebig kleine positive Zahl, etwa ein Milliardstel: Mit genügend vielen Neunen wird die Differenz noch kleiner. In 0,999… stehen aber alle Neunen auf einmal, unendlich viele, die Differenz muss also kleiner sein als jede positive Zahl. Nun ist aber keine positive Zahl kleiner als alle positiven Zahlen, sie müsste ja sogar kleiner sein als ihre eigene Hälfte. Die Differenz kann also nur null sein.
Ein häufiger Einwand lautet, die Differenz sei 0,000…01, also unendlich viele Nullen und am Ende eine Eins. Eine unendlich lange Kette von Nullen hat aber kein Ende, und so gibt es keine Stelle, an die man die Eins schreiben könnte.
Dazwischen passt nichts
Zwischen zwei beliebigen verschiedenen reellen Zahlen finden wir immer eine weitere Zahl, zum Beispiel ihren Mittelwert. Zwischen 0,5 und 0,6 liegt 0,55, zwischen 0,5 und 0,55 wiederum 0,525. Das gilt für jedes Paar verschiedener Zahlen, so nah sie auch beieinanderliegen: Ihr Mittelwert passt immer dazwischen.
Welche Zahl läge zwischen 0,999… und 1? Sie müsste größer sein als 0,999… und zugleich kleiner als eins, würde also mit einer Null und einem Komma beginnen. Mindestens eine ihrer Ziffern hinter dem Komma müsste dann größer sein als neun, und eine solche gibt es nicht. Zwischen die beiden Zahlen passt nichts, also sind sie gleich.
Als unendliche Summe
Die Dezimaldarstellung ist in Wirklichkeit eine Summe: 0,999… bedeutet neun Zehntel plus neun Hundertstel plus neun Tausendstel und so weiter:
Jeder Summand ist ein Zehntel des vorigen, wir addieren also Glieder einer geometrischen Folge mit dem ersten Glied
Wir setzen ein:
Genau gesagt ist die Summe einer unendlichen Reihe der Grenzwert der Summen ihrer ersten Glieder, also der Folge 0,9; 0,99; 0,999; … Sie nähert sich der Eins, und die Schreibweise 0,999… bedeutet genau diesen Grenzwert. Darauf beruhen auch die vorherigen Beweise.
Warum wir es nicht glauben wollen
Die Intuition verwechselt „viele Neunen“ mit „unendlich vielen Neunen“. Die Zahl 0,999 mit drei Neunen ist tatsächlich kleiner als eins, genauso wie die Zahl mit einer Million Neunen. Ausgedruckt würde sie einige hundert Seiten füllen, und trotzdem fehlte ihr bis zur Eins noch etwas.
Außerdem stellen wir uns 0,999… oft als einen Vorgang vor: Es werden immer weiter Neunen angehängt, und die Zahl schleicht sich der Eins entgegen. Die Zahl bewegt sich aber nirgendwohin. Alle Neunen sind von Anfang an da, und der Wert ändert sich nicht.
Der zweite Stolperstein besteht darin, dass eine Zahl zwei verschiedene Schreibweisen haben soll. Das kennen wir aber auch von den Brüchen:
Und so, wie wir die Hälfte durch verschiedene Brüche schreiben können, gibt es für 0,5 noch eine weitere Dezimalschreibweise:
Zwei Schreibweisen hat jede Zahl mit endlicher Dezimaldarstellung außer der Null, zum Beispiel 0,25 = 0,24999… oder 7 = 6,999… Es handelt sich nicht um zwei Zahlen, sondern um eine Zahl in zwei Verkleidungen.
